第 一 題

這是一道標準的簡單隨機抽樣（SRS）估計母體比例的問題。看到題目首先計算樣本比例作為不偏估計量，接著注意抽出率 n/N = 0.1，必須加入有限母體修正因子（fpc）來計算標準誤，最後套用常態近似公式求出 95% 信賴區間。

本題測驗「次母體（Domain / Subpopulation）平均數」的估計。看到「調查資料顯示其中有...」需敏銳察覺樣本大小（$n_d=10$）為隨機變數，估計養狗家戶平均數時應使用次母體樣本資料進行計算，且計算其變異數時務必加入有限母體修正乘數（FPC），並運用次母體樣本變異數 $s_d^2$。

本題為簡單隨機抽樣（SRS）的母體總數估計。最大陷阱在於「未養狗的40戶」其家犬數為0，必須與有養狗的10戶合併為完整的50個樣本，才能正確計算樣本平均數（$\bar{y}$）與樣本變異數（$s^2$）。算出樣本變異數後，套用含有限母體校正因子（FPC）的總量變異數公式即可求得信賴區間。

看到題目提供未參與抽樣設計的母體輔助資訊（年齡結構戶數）時，應立即想到『事後分層估計（Post-stratification）』。解題需先從總樣本拆解出各層的樣本數與贊成數，求出各層樣本比例後，再以母體真實比例作為權重加權。評價時需從『樣本結構失衡校正』與『層間差異大可降低變異數』兩個抽樣理論切入說明。

考生看到此題應立刻辨識出這是「簡單隨機抽樣（取出不放回）」中估計母體比例的樣本數計算題。解題關鍵在於利用前次調查結果作為母體比例的預估值（$p=0.2$），並務必考量母體大小（$N=500$）使用「有限母體校正因子（FPC）」來調整樣本數。