地特三等申論題
109年
[經建行政] 統計學
第 二 題
📖 題組：
一、下表為各縣市在109年6月的「扶養比」與「醫療院所平均每千人擁有病床數」。最後一欄為兩變數相乘的值，最後兩列為觀測值的總和與觀測值的平方之總和（平方和）。 縣市 扶養比（A） 醫療院所平均每千人擁有病床數（B） （A）×（B） 新北市 36.52 4.75 173.470 臺北市 46.47 9.68 449.830 桃園市 37.25 6.72 250.320 臺中市 37.48 7.82 293.094 臺南市 38.90 7.05 274.245 高雄市 38.59 8.14 314.123 宜蘭縣 39.96 8.68 346.853 新竹縣 40.67 5.15 209.451 苗栗縣 40.81 6.39 260.776 彰化縣 40.69 6.28 255.533 南投縣 40.47 6.92 280.052 雲林縣 42.68 5.74 244.983 嘉義縣 40.94 6.70 274.298 屏東縣 38.76 7.11 275.584 臺東縣 39.78 7.04 280.051 花蓮縣 40.29 13.19 531.425 澎湖縣 36.97 5.24 193.723 基隆市 37.28 10.70 398.896 新竹市 42.36 6.34 268.562 嘉義市 41.12 15.01 617.211 金門縣 29.74 2.36 70.186 連江縣 31.50 3.98 125.370 總和 859.23 160.99 6388.035 平方和 33821.94 1349.34
一、下表為各縣市在109年6月的「扶養比」與「醫療院所平均每千人擁有病床數」。最後一欄為兩變數相乘的值，最後兩列為觀測值的總和與觀測值的平方之總和（平方和）。 縣市 扶養比（A） 醫療院所平均每千人擁有病床數（B） （A）×（B） 新北市 36.52 4.75 173.470 臺北市 46.47 9.68 449.830 桃園市 37.25 6.72 250.320 臺中市 37.48 7.82 293.094 臺南市 38.90 7.05 274.245 高雄市 38.59 8.14 314.123 宜蘭縣 39.96 8.68 346.853 新竹縣 40.67 5.15 209.451 苗栗縣 40.81 6.39 260.776 彰化縣 40.69 6.28 255.533 南投縣 40.47 6.92 280.052 雲林縣 42.68 5.74 244.983 嘉義縣 40.94 6.70 274.298 屏東縣 38.76 7.11 275.584 臺東縣 39.78 7.04 280.051 花蓮縣 40.29 13.19 531.425 澎湖縣 36.97 5.24 193.723 基隆市 37.28 10.70 398.896 新竹市 42.36 6.34 268.562 嘉義市 41.12 15.01 617.211 金門縣 29.74 2.36 70.186 連江縣 31.50 3.98 125.370 總和 859.23 160.99 6388.035 平方和 33821.94 1349.34
📝 此題為申論題，共 4 小題
小題 (二)
繪製109年度的扶養比之盒鬚圖（box-and-whisker plot）。依據所繪盒鬚圖判斷是否存在離群值；若有，請說明是那些縣市。（5分）
思路引導 VIP
看到本題首先要對22個縣市的「扶養比」數據進行由小到大的排序，找出五數總結（最小值、Q1、中位數、Q3、最大值）。接著計算四分位距（IQR），並利用 $Q_1 - 1.5 \times IQR$ 與 $Q_3 + 1.5 \times IQR$ 求出內籬（Fences），超出此範圍的數值即為離群值（Outliers），最後再根據上述要素建構盒鬚圖。
小題 (一)
計算109年度的扶養比之第1、第2與第3四分位數，再求得其四分位距（Interquartile range, IQR）。（10分）
思路引導 VIP
四分位數與四分位距的計算核心在於「資料排序」與「位置公式」。考生應先將22個縣市的扶養比由小到大排列，再代入百分位數位置公式（如 $i = np$）。因統計學有多種四分位數計算慣例，作答時建議清楚寫明所採用的位置判定準則，並計算相應數值以求嚴謹。
小題 (三)
假設醫療院所平均每千人擁有病床數服從常態分配，在顯著水準0.05下，檢定醫療院所平均每千人擁有病床數之母體均數是否大於6。（10分）
思路引導 VIP
觀察題目得知母體服從常態分配但變異數未知，且樣本數（n=22）小於30，因此應選用單樣本 t 檢定進行右尾檢定。解題關鍵在於利用給定的加總與平方和求出樣本平均數與樣本標準差，再代入檢定統計量公式與臨界值進行比較。
小題 (四)
計算扶養比與醫療院所平均每千人擁有病床數兩變數之相關係數。（10分）
思路引導 VIP
看到計算相關係數的題型，應立即聯想到皮爾森積差相關係數公式。從題目給定的總和與平方和等摘要統計量，先清點資料確認樣本數 n = 22，再分別計算出交叉乘積和（S_AB）與兩變數之離差平方和（S_AA, S_BB），最後代入公式求解即可。
📜 參考法條
附表：t分配表
附表：卡方分配表