普考申論題 109年 [機械工程] 機械力學概要

第一題

📖 題組：
如圖所示為一組合梁之橫截面，試求：

📝 此題為申論題，共 2 小題

小題 (一)

橫截面的形心坐標位置；（10分）

看到這類組合梁截面題，首先要建立明確的座標系統，並將複雜圖形拆解為易於計算的簡單矩形。接著，利用『面積與坐標乘積之和等於總面積與整體形心坐標之乘積』的力矩原理，透過表格法來梳理各部件的面積、局部形心位置及一次矩，能大幅降低計算錯誤的風險並清楚呈現解題邏輯。

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【解題關鍵】利用組合面積的形心公式 $\bar{x} = \frac{\sum x_i A_i}{\sum A_i}$ 及 $\bar{y} = \frac{\sum y_i A_i}{\sum A_i}$，將複雜截面拆解為簡單矩形進行系統性計算。【解答】計算：

橫截面對x軸的慣性矩Ix。（10分）

本題考查組合面積的慣性矩計算，看到題目應先將複雜截面拆解為頂部水平翼板與底部垂直腹板兩個基本矩形。須注意圖中鉚釘與接縫僅為拼接構造示意，垂直腹板實質上是總寬度 60 mm (3×20) 的完整矩形。最後利用平行軸定理分別計算兩區塊對 x 軸的慣性矩並相加即可求解。

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【解題關鍵】利用組合面積的平行軸定理 $I_x = \bar{I}_{x'} + Ad^2$ 或底部貼齊坐標軸的慣性矩公式 $I_x = \frac{1}{3}bh^3$ 進行計算。【解答】將組合梁截面分割為兩個基本矩形區塊：

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