高考申論題
109年
[統計] 迴歸分析
第 一 題
📖 題組：
三、一位數據分析師受託分析於33（n=33）位男學生，其腳長（Y，以公分為單位）和 X 身高（以英吋為單位）的關係。所建立的簡單線性模型如下：Y_i = \beta_0 + \beta_1 X_i + \varepsilon_i, i=1,\dots,n. 請使用表2部分電腦輸出報表來回答以下問題。表2第一欄是觀察值的順序，第二欄是殘差值。
三、一位數據分析師受託分析於33（n=33）位男學生，其腳長（Y，以公分為單位）和 X 身高（以英吋為單位）的關係。所建立的簡單線性模型如下：Y_i = \beta_0 + \beta_1 X_i + \varepsilon_i, i=1,\dots,n. 請使用表2部分電腦輸出報表來回答以下問題。表2第一欄是觀察值的順序，第二欄是殘差值。
📝 此題為申論題，共 3 小題
小題 (一)
請說明何謂異常點（outlier）和高槓桿觀察值（high leverage observation），及其之間的區別。（8分）
思路引導 VIP
看到這題，首先要聯想到迴歸診斷中「X 空間」與「Y 空間」的區別。異常點（Outlier）是指在 Y 方向上偏離模型預測趨勢的點；高槓桿觀察值（High Leverage）則是指在 X 方向上遠離樣本平均中心的點。答題時應清楚定義兩者，並說明常用的判斷指標（如學生化殘差與 Hat Matrix 對角元素），最後點出兩者最大的差異在於發生的維度不同，以及對迴歸線斜率潛在影響力的差別。
小題 (二)
表2第三欄是標準化的殘差值（studentized residual）。請以此判斷是否有異常點存在？請說明判斷準則。表2第五欄是 Student 化刪除殘差（Studentized deleted residuals，以 R-Student 表示）。第 i 個 R-Student 殘差是在假定將資料中的第 i 個觀察值刪除，然後以剩下的 n-1個觀察值來建立新的估計迴歸方程式而標準化獲得的 R-Student 殘差值。請以此判斷是否有異常點存在？請說明判斷準則。（8分）
思路引導 VIP
本題測驗迴歸診斷中 Y 方向異常點（Outlier）的偵測方法。解題關鍵在於清楚說明「標準化殘差」與「Student化刪除殘差」的判斷準則（通常為絕對值大於 2 或 3，或是與對應自由度的 t 分配臨界值比較），並據此從報表中挑出符合條件的觀測值。
小題 (三)
表2第六欄是 hii（hat value），其公式為 h_{ii} = 1/n + (X_i - $\bar{X})^2 / \sum_{j=1}^n(X_j - \bar{X})^2$，請問 \sum h_{ii} 的值為何？請以此判斷是否有可能的高槓桿觀察值存在？請說明判斷準則。表2的最後一欄，第八欄是 DFFITS（Difference in Fits）值。請以此判斷是否有可能的影響點（influential observation）存在？請說明判斷準則。（8分）
思路引導 VIP
首先回想帽子矩陣（Hat matrix）的數學性質，對角線元素 hii 之和等於模型參數總數 p。接著，運用迴歸診斷的經驗法則，高槓桿點的門檻通常為 2p/n，而 DFFITS 判斷影響點的門檻通常為 2√(p/n)（部分教科書採用絕對值 1）。計算出門檻值後，核對報表數據即可找出對應的潛在異常觀察值。