第 一 題

這是二維常態分配的經典證明題。有兩種主流證法：1. 直接從二維常態聯合機率密度函數 (Joint PDF) 出發，除以 X 的邊際 PDF，配方求得條件 PDF 的均值與變異數。2. 使用正交化(Orthogonal projection) / 線性轉換的方法。構造一個新的隨機變數 Z = Y - aX，透過令 Cov(Z, X) = 0 來利用「常態分配中無相關即獨立」的特性。第二種方法在數學推導上更為簡潔且不易出錯，是補習班強推的證法。這裡可以展示第二種方法的邏輯。

這題是送分題。只要將(一)所證出的條件均數與條件變異數，與題幹給定的迴歸模型對應起來即可。迴歸的 E(Y|X=x) = β0 + β1x，對應 (一) 的 μy|x；迴歸的 Var(Y|X=x) = σ²，對應 (一) 的 σ²y|x。展開 μy|x 的式子，將其重整為「常數項 + 係數 * x」的形式，就能直接讀出 β0 和 β1。

迴歸模型中，誤差項 εi 的定義是 yi - E(yi|xi)。既然 Y|X 服從常態分配，減去一個常數(其均值)後，依然是常態分配。均值變為0，變異數保持不變。所以只需寫出常態分配符號及其均值與變異數即可。

這是一道直觀的數學與統計觀念結合題。根據前面推導的公式 σ² = σ²y(1 - ρ²)。因為相關係數 ρ 的範圍是 [-1, 1]，所以 ρ² 的範圍是 [0, 1]，因此 (1 - ρ²) 必為介於 0 與 1 之間的數。將這個代數關係寫出來即可證明大於等於。等於的情況就是 ρ = 0。解釋時要帶入統計意義：當兩變數無關時，知道 X 無法幫我們減少對 Y 預測的不確定性(變異)。

這是統計學中最經典的證明之一：簡單線性迴歸中，判定係數等於樣本相關係數的平方。思路導航：首先分別寫出 rXY 和 R² 的定義式。rXY = Sxy / √(Sxx * Syy)。而 R² = SSR / SST。SST 本身就是 Syy。接著，利用簡單迴歸估計量公式 β1_hat = Sxy / Sxx，將 SSR 展開。SSR = Σ(Y_hat - Y_bar)² = β1_hat² * Sxx。將 β1_hat 代入，整理分子分母，最後就會發現它剛好等於 rXY²。這題重在代數推演的嚴謹度。