地特三等申論題
109年
[電力工程] 工程數學
第 一 題
📖 題組：
(一)假設 z 為一複數，求所有的 z 使得 $\cos z = \sqrt{2}$。（4分）
(二)假設 z 為一複數，計算 $\oint_C \frac{2z^3+z^2+4}{z^4+4z^2} dz$，其中積分路徑 C 為圓 $|z-2|=4$ 之順時針（clockwise）方向圓周（circle）。（4分）
(一)假設 z 為一複數，求所有的 z 使得 $\cos z = \sqrt{2}$。（4分）
(二)假設 z 為一複數，計算 $\oint_C \frac{2z^3+z^2+4}{z^4+4z^2} dz$，其中積分路徑 C 為圓 $|z-2|=4$ 之順時針（clockwise）方向圓周（circle）。（4分）
📝 此題為申論題，共 2 小題
小題 (一)
假設 z 為一複數，求所有的 z 使得 $\cos z = \sqrt{2}$。（4分）
思路引導 VIP
利用歐拉公式將三角函數轉換為指數形式，即 $\cos z = (e^{iz} + e^{-iz})/2$。解一元二次方程式得到 $e^{iz}$，再取主值與對數求出 z 的通解。
小題 (二)
假設 z 為一複數，計算 $\oint_C \frac{2z^3+z^2+4}{z^4+4z^2} dz$，其中積分路徑 C 為圓 $|z-2|=4$ 之順時針（clockwise）方向圓周（circle）。（4分）
思路引導 VIP
本題運用柯西留數定理求解。先找出被積函數在 C 內部的所有奇異點，或觀察是否所有有限奇異點都在 C 內部，若是，則可利用無窮遠點留數公式大幅簡化計算。由於是順時針積分，須注意正負號調整。
複數三角函數求解
💡 利用尤拉公式定義將複數三角方程式轉化為代數方程式求解。
🔗 複數三角方程式解題標準程序
- 1 指數展開 — 套用 cos z = (e^iz + e^-iz)/2 定義
- 2 二次方化 — 令 w = e^iz 整理成 w^2 - bw + 1 = 0
- 3 公式求解 — 求出 w = e^iz 的數值結果
- 4 對數還原 — z = -i * [ln(w) + i2nπ] 導出通解
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🔄 延伸學習：延伸學習：此流程亦適用於求 sin z = k 或複數反三角函數的定義推導。
