第 一 題

當 K_T = 0 時，內迴圈的回授消失。系統簡化為前向轉移函數 G(s) = K / [s(s + 2)] 的單位負回授系統。 其特徵方程式為 1 + K / [s(s + 2)] = 0，即 s^2 + 2s + K = 0。

1. 開迴路極點：s = 0 與 s = -2；無開迴路零點。

當 K = 16 且 K_T = 0，特徵方程式為 s^2 + 2s + 16 = 0。 解得根的位置為：s = -1 ± j√15 ≈ -1 ± j3.873。 對應二階系統標準特徵方程式 s^2 + 2ζω_n s + ω_n^2 = 0，可得：

當 K = 16 時，系統完整的特徵方程式為 s^2 + (2 + K_T)s + 16 = 0。 欲畫 K_T 的根軌跡，將方程式改寫為 1 + K_T [s / (s^2 + 2s + 16)] = 0。

1. 開迴路極點為 K_T = 0 時的根：s = -1 ± j√15。

已知特徵方程式為 s^2 + (2 + K_T)s + 16 = 0，其中 ω_n = 4 rad/s。 若要求阻尼比 ζ = 0.707，則 2ζω_n = 2 × 0.707 × 4 = 5.656。 因此 2 + K_T = 5.656 => K_T = 3.656。

將系統內迴圈化簡後，前向等效轉移函數為： G_eq(s) = K / [s(s + 2 + K_T)]。 系統為單位負回授，速度誤差常數 K_v 之定義為：