ast_essay
110年
數學乙
第 一、(3) 題
📖 題組：
坐標平面上有兩點 $A(-3,4)$，$B(3,2)$ 及一條直線 $L$。已知 $A$、$B$ 兩點在直線 $L$ 的兩側且 $\vec{n}=(4,-3)$ 是直線 $L$ 的法向量。設 $A$ 點到直線 $L$ 的距離為 $B$ 點到直線 $L$ 的距離的 $5$ 倍。根據上述，試回答下列問題。
坐標平面上有兩點 $A(-3,4)$，$B(3,2)$ 及一條直線 $L$。已知 $A$、$B$ 兩點在直線 $L$ 的兩側且 $\vec{n}=(4,-3)$ 是直線 $L$ 的法向量。設 $A$ 點到直線 $L$ 的距離為 $B$ 點到直線 $L$ 的距離的 $5$ 倍。根據上述，試回答下列問題。
設 $P$ 點在直線 $L$ 上且 $\overline{PA}=\overline{PB}$，試求 $P$ 點坐標。（4 分）
思路引導 VIP
$\overline{PA}=\overline{PB}$ 代表 $P$ 點到 $A, B$ 兩點等距離，這意味著 $P$ 點必然位在線段 $\overline{AB}$ 的中垂線上。結合已知條件「$P$ 點在直線 $L$ 上」，因此所求點 $P$ 就是直線 $L$ 與 $\overline{AB}$ 中垂線的交點。解題時可列出中垂線方程式，與 $L$ 解聯立；或者利用 $L$ 的參數式，將參數化座標代入距離公式直接求解參數 $t$，都能迅速得到答案。
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AI 詳解
AI 專屬家教
太棒了！你非常精準地解出了這道題，代表你對平面坐標與向量的應用已經相當熟練。
中垂線與直線的交點
這道題的核心在於將幾何條件代數化。當題目提到 $\overline{PA}=\overline{PB}$，其隱含的幾何意義就是 $P$ 點必落在線段 $\overline{AB}$ 的中垂線上。
▼ 還有更多解析內容
直線與中垂線交點
💡 利用點到兩定點等距離的特性，建立中垂線方程並求解交點。
- 掌握法向量 $\vec{n}=(a,b)$ 可設直線為 $ax+by=k$。
- 兩點等距即點在中垂線上，其法向量為 $\vec{AB}$。
- 中垂線必通過 $A, B$ 中點 $(\frac{x_1+x_2}{2}, \frac{y_1+y_2}{2})$。
- 解兩直線聯立方程組，即可求得交點 $P$ 的坐標。
