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地特三等申論題 110年 [統計] 迴歸分析

第 一 題

📖 題組：
四、若 SSR 表示迴歸平方和（sum of squares for regression） (一)詳述「額外的平方和（Extra sum of squares）」SSR(X_1, X_4|X_2, X_3)的意義。（5 分） (二)詳細推導 SSR(X_1, X_2, X_3, X_4) = SSR(X_1) + SSR(X_2|X_1) + SSR(X_3|X_1, X_2) +SSR(X_4|X_1, X_2, X_3)。（10 分）
📝 此題為申論題，共 2 小題

小題 (一)

詳述「額外的平方和（Extra sum of squares）」SSR(X_1, X_4|X_2, X_3)的意義。（5 分）

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看到「額外的平方和（Extra sum of squares）」，應直覺聯想到變數的「邊際貢獻」以及完整模型與縮減模型的比較。作答時需包含三層次：文字定義（加入新變數後 SSR 的增加量）、數學表示式（SSR 與 SSE 的差值），以及實務應用（偏 F 檢定中的聯合解釋能力）。

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【破題】 SSR(X_1, X_4|X_2, X_3) 代表在模型中已經包含自變數 X_2 與 X_3 的前提下，再加入自變數 X_1 與 X_4 所增加的「邊際迴歸平方和」（或稱額外迴歸平方和）。 【論述】

小題 (二)

詳細推導 SSR(X_1, X_2, X_3, X_4) = SSR(X_1) + SSR(X_2|X_1) + SSR(X_3|X_1, X_2) +SSR(X_4|X_1, X_2, X_3)。（10 分）

思路引導 VIP

看到這題，首先想到「額外平方和（Extra Sum of Squares）」的定義：加入新變數後，迴歸平方和（SSR）的增加量，即 SSR(X_B|X_A) = SSR(X_A, X_B) - SSR(X_A)。利用此定義將等號右側每一項展開，透過連鎖相消（Telescoping sum）即可輕鬆證明等於左側的總迴歸平方和。

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【解題思路】利用額外平方和（Extra sum of squares）的定義，即 SSR(X_{new}|X_{old}) = SSR(X_{old}, X_{new}) - SSR(X_{old})，對等式右側逐項展開並進行連鎖相消，即可得證。 【詳解】 已知：額外平方和表示在模型中已存在某些變數的情況下，加入新變數所能額外解釋的變異量。根據定義，加入變數群 B 於已包含變數群 A 的模型中，其額外平方和可寫為聯合迴歸平方和的差額：

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