地特三等申論題
110年
[統計] 迴歸分析
第 一 題
📖 題組：
四、若 SSR 表示迴歸平方和（sum of squares for regression） (一)詳述「額外的平方和（Extra sum of squares）」SSR(X_1, X_4|X_2, X_3)的意義。（5 分） (二)詳細推導 SSR(X_1, X_2, X_3, X_4) = SSR(X_1) + SSR(X_2|X_1) + SSR(X_3|X_1, X_2) +SSR(X_4|X_1, X_2, X_3)。（10 分）
四、若 SSR 表示迴歸平方和（sum of squares for regression） (一)詳述「額外的平方和（Extra sum of squares）」SSR(X_1, X_4|X_2, X_3)的意義。（5 分） (二)詳細推導 SSR(X_1, X_2, X_3, X_4) = SSR(X_1) + SSR(X_2|X_1) + SSR(X_3|X_1, X_2) +SSR(X_4|X_1, X_2, X_3)。（10 分）
📝 此題為申論題，共 2 小題
小題 (一)
詳述「額外的平方和（Extra sum of squares）」SSR(X_1, X_4|X_2, X_3)的意義。（5 分）
思路引導 VIP
看到「額外的平方和（Extra sum of squares）」，應直覺聯想到變數的「邊際貢獻」以及完整模型與縮減模型的比較。作答時需包含三層次：文字定義（加入新變數後 SSR 的增加量）、數學表示式（SSR 與 SSE 的差值），以及實務應用（偏 F 檢定中的聯合解釋能力）。
小題 (二)
詳細推導
SSR(X_1, X_2, X_3, X_4) = SSR(X_1) + SSR(X_2|X_1) + SSR(X_3|X_1, X_2) + SSR(X_4|X_1, X_2, X_3)。（10 分）
SSR(X_1, X_2, X_3, X_4) = SSR(X_1) + SSR(X_2|X_1) + SSR(X_3|X_1, X_2) + SSR(X_4|X_1, X_2, X_3)。（10 分）
思路引導 VIP
看到這題，首先想到「額外平方和（Extra Sum of Squares）」的定義：加入新變數後，迴歸平方和（SSR）的增加量，即 SSR(X_B|X_A) = SSR(X_A, X_B) - SSR(X_A)。利用此定義將等號右側每一項展開，透過連鎖相消（Telescoping sum）即可輕鬆證明等於左側的總迴歸平方和。
額外平方和與序列分解
💡 衡量在既有模型下，加入新變數所增加的邊際解釋能力。
| 比較維度 | 完整模型 (Full) | VS | 縮減模型 (Reduced) |
|---|---|---|---|
| 變數組成 | 包含所有已知與新加入變數 | — | 僅包含基準或已存在的變數 |
| 誤差平方和 (SSE) | 較小 (解釋變異較多) | — | 較大 (解釋變異較少) |
| 迴歸平方和 (SSR) | 較大 (包含邊際貢獻) | — | 較小 (僅含基礎貢獻) |
| 自由度 (df) | 較少 (參數個數多) | — | 較多 (參數個數少) |
💬兩者 SSR 之差即為「額外平方和」，代表新變數帶來的純粹解釋增量。
