地特三等申論題
110年
[電子工程] 電磁學
第 二 題
📖 題組：
於真空中，一金屬圓環半徑 a，導磁係數 μ₀，受正弦平面波磁場入射，波長為 λ ≫ a。
於真空中，一金屬圓環半徑 a，導磁係數 μ₀，受正弦平面波磁場入射，波長為 λ ≫ a。
📝 此題為申論題，共 2 小題
小題 (二)
推導該金屬圓環感應之電動力振幅。（10 分）
思路引導 VIP
看到「波長 λ ≫ a」的條件，應立刻聯想到「準靜態近似（Quasi-static approximation）」，這意味著圓環範圍內的磁場空間分佈可視為均勻。解題核心在於直接應用法拉第電磁感應定律（Faraday's Law），先求出穿過圓環的均勻磁通量，再對時間偏微分即可求得感應電動勢及其振幅。
小題 (一)
當此金屬圓環如何相對與入射平面波磁場 B（或 H）放置，使金屬圓環產生之電動力（electromotive force）最大，並以原理或繪圖說明解釋。（10 分）
思路引導 VIP
看到此題應先聯想「法拉第電磁感應定律」，感應電動勢大小取決於磁通量的時間變化率。由於波長遠大於圓環半徑（λ ≫ a），可視圓環所在區域的磁場為空間均勻場，故解題關鍵轉化為尋找使「穿過圓環面積的磁通量」達到最大的幾何相對位置，即探討面積法向量與磁場向量的內積關係。
準靜態電磁感應推導
💡 利用準靜態近似簡化空間相位，再透過法拉第定律求解感應電動勢。
🔗 感應電動勢振幅推導邏輯
- 1 準靜態判定 — 確認波長遠大於圓環半徑，簡化場量為空間均勻。
- 2 場量表示 — 寫出時變磁場函數 B(t)，包含角頻率與初始振幅。
- 3 磁通量計算 — 計算磁場穿過圓環面積的積分，考慮法向量夾角。
- 4 時間微分 — 套用法拉第定律 V = -dΦ/dt 進行求導運算。
- 5 振幅提取 — 由結果函數擷取與時間無關的係數項作為最大值。
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🔄 延伸學習：延伸學習：當波長與物體尺寸接近時，須考慮相位延遲效應。
