普考申論題
110年
[天文] 普通物理學概要
第 一 題
📖 題組：
已知相距 r，兩質量為 m、M 物體間的萬有引力為 F = G * (mM / r^2)。設火星質量 Mm 為地球質量 Me 的 0.1 倍、半徑 Rm 為地球半徑 Re 的 0.5 倍、地球表面的重力加速度量值為 g = 10 m/s^2，同時設重力位能在無窮遠處為 0，試問： (一)火星表面的重力加速度量值 gm 和火星質量 Mm、火星半徑 Rm 的關係為何？（5 分） (二)試估算火星表面的重力加速度量值為多少 m/s^2？（5 分） (三)地表質量 m 的火箭受地球吸引的重力位能 Ue 和地球質量 Me、地球半徑 Re 的關係為何？（5 分） (四)火星表面和火箭同質量 m 的探測器重力位能 Um 約為 Ue 的幾倍？（5 分） (五)設火星表面探測器脫離火星重力束縛的脫離速 vm、動能為 Km，則 Km 和 Um 的關係為何？（5 分） (六)假設地球表面的脫離速度 ve = 11.2 km/s，則在火星表面的探測器，脫離火星重力的束縛需要的初速 vm 為多少 km/s？（5 分）
已知相距 r，兩質量為 m、M 物體間的萬有引力為 F = G * (mM / r^2)。設火星質量 Mm 為地球質量 Me 的 0.1 倍、半徑 Rm 為地球半徑 Re 的 0.5 倍、地球表面的重力加速度量值為 g = 10 m/s^2，同時設重力位能在無窮遠處為 0，試問： (一)火星表面的重力加速度量值 gm 和火星質量 Mm、火星半徑 Rm 的關係為何？（5 分） (二)試估算火星表面的重力加速度量值為多少 m/s^2？（5 分） (三)地表質量 m 的火箭受地球吸引的重力位能 Ue 和地球質量 Me、地球半徑 Re 的關係為何？（5 分） (四)火星表面和火箭同質量 m 的探測器重力位能 Um 約為 Ue 的幾倍？（5 分） (五)設火星表面探測器脫離火星重力束縛的脫離速 vm、動能為 Km，則 Km 和 Um 的關係為何？（5 分） (六)假設地球表面的脫離速度 ve = 11.2 km/s，則在火星表面的探測器，脫離火星重力的束縛需要的初速 vm 為多少 km/s？（5 分）
📝 此題為申論題，共 6 小題
小題 (一)
火星表面的重力加速度量值 gm 和火星質量 Mm、火星半徑 Rm 的關係為何？
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本題考查萬有引力與重力加速度的關聯。解題時應從基本定義出發，將物體在星球表面所受的重力（W = mg）等同於星球對物體的萬有引力（F = GmM/R²），消去測試質量 m 即可得出關係式。
小題 (二)
試估算火星表面的重力加速度量值為多少 m/s^2？
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本題測驗如何利用比例關係簡化物理計算。看到比較不同星體重力加速度的題目，應先寫出 g = GM/R^2，接著將火星的質量與半徑條件以地球為基準代入，即可求得兩者的比例並算出具體數值。
小題 (三)
地表質量 m 的火箭受地球吸引的重力位能 Ue 和地球質量 Me、地球半徑 Re 的關係為何？
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本題測驗重力位能的定義。看到求重力位能，應立即想到利用微積分定義，即計算保守力（重力）從參考點（無窮遠）移動到目標點（地球表面）所作功的負值。積分時需注意引力方向與位移方向相反所產生的負號。
小題 (四)
火星表面和火箭同質量 m 的探測器重力位能 Um 約為 Ue 的幾倍？
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考生看到此題應先聯想重力位能的定義式 U = -GMm/r。透過將火星表面的位能 Um 與地球表面的位能 Ue 相除，代入題目已知的星體質量與半徑比例，即可迅速得出倍數關係。
小題 (五)
設火星表面探測器脫離火星重力束縛的脫離速 vm、動能為 Km，則 Km 和 Um 的關係為何？
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本題的核心在於「脫離重力束縛」的物理意義與「力學能守恆定律」的應用。考生應先設定邊界條件：當探測器恰能到達無窮遠處時，其末動能與末重力位能皆為零，接著列出初始與最終力學能等式即可求出關係。
小題 (六)
假設地球表面的脫離速度 ve = 11.2 km/s，則在火星表面的探測器，脫離火星重力的束縛需要的初速 vm 為多少 km/s？
思路引導 VIP
本題組為典型的萬有引力與力學能守恆綜合題。解題時應先從牛頓第二運動定律出發求重力加速度，再利用微積分定義嚴謹推導重力位能，最後透過力學能守恆（初始動能+初始位能=0）推導出脫離速度公式，代入星體質量與半徑的比例關係即可連鎖解出答案。