普考申論題
110年
[統計] 統計學概要
第 三 題
📖 題組：
甲公司有 4 名員工，月薪分別為 4 萬、6 萬、8 萬、8 萬。經由簡單計算已經求出母體平均數(μ)為 6.5 萬，母體變異數(σ²)為 2.75 萬。今擬以抽後不放回的方式抽取 2 名員工，得樣本平均數 X̄₂。將 X̄₂ 的平均數與變異數分別記為 μ_X̄₂ 與 (σ_X̄₂)²。
甲公司有 4 名員工，月薪分別為 4 萬、6 萬、8 萬、8 萬。經由簡單計算已經求出母體平均數(μ)為 6.5 萬，母體變異數(σ²)為 2.75 萬。今擬以抽後不放回的方式抽取 2 名員工，得樣本平均數 X̄₂。將 X̄₂ 的平均數與變異數分別記為 μ_X̄₂ 與 (σ_X̄₂)²。
📝 此題為申論題，共 3 小題
小題 (三)
當樣本數 n 遠小於母體數 N 時，試問(二)中之修正係數近似何值？（5 分）
思路引導 VIP
- 識別考點：極限觀念在統計學的應用。
- 分析修正項：當 N 趨近於無限大，或相對於 n 非常大時，(N-n)/(N-1) 的變化趨向。
小題 (一)
試寫出 X̄₂ 之機率分配，並依此計算 μ_X̄₂ 與 (σ_X̄₂)²。（10 分）
思路引導 VIP
- 識別考點：有限母體、小樣本、抽後不放回。這是抽樣分配的基礎計算。
- 列舉空間：從 4 個元素中取 2 個，總共有 C(4, 2) = 6 種組合。
小題 (二)
假設母體個數為 N，以抽後不放回的方式抽取 n 個值，將樣本平均數之變異數記為 (σ_X̄ₙ)²。在考量有限母體修正係數之下，試寫出 (σ_X̄ₙ)² 與 σ² 之關係式。（5 分）
思路引導 VIP
- 識別考點：有限母體修正係數 (Finite Population Correction factor, FPC)。
- 回憶公式：在有限母體且抽後不放回的情況下，樣本平均數的變異數公式會比無限母體多一個修正項。