高考申論題
110年
[材料工程] 材料熱力學
第 一 題
📖 題組：
完成馬克斯威爾公式與莫里爾圖分析。
完成馬克斯威爾公式與莫里爾圖分析。
📝 此題為申論題，共 3 小題
小題 (一)
完成以下這個馬克斯威爾公式（Maxwell equations）$(\partial T / \partial V)_S = ? $（2 分）
思路引導 VIP
看到偏微分變數為 T, V, S，應立刻聯想到熱力學特徵函數中的內能（U）。寫出內能的基本微分方程式 dU = TdS - PdV，利用狀態函數全微分的二階交叉偏微分相等性質（尤拉定理），即可快速導出對應的馬克斯威爾關係式。
小題 (二)
完成以下這個馬克斯威爾公式 $(\partial P / \partial T)_V = ? $（2 分）
思路引導 VIP
看到馬克斯威爾關係式的推導，應立刻尋找變數為 T 與 V 的熱力學狀態函數。透過寫出亥姆霍茲自由能（Helmholtz free energy）基本方程式 dA = -SdT - PdV，配合全微分的交叉偏導數相等性質即可輕鬆求解。
小題 (三)
莫里爾圖（Mollier diagram）是 H-S 圖。在氣相區的等壓線（isobar）的斜率必須為正？為負？正負皆可？為什麼？（6 分）
思路引導 VIP
看到莫里爾圖（H-S圖）與等壓線斜率，應立刻聯想熱力學基本方程式 dH = TdS + VdP。將等壓條件（dP = 0）代入，求出斜率 (∂H/∂S)_P 的物理意義（即絕對溫度 T），即可由 T 的特性判斷斜率的正負號。
馬克斯威爾關係式推導
💡 利用熱力學勢的全微分性質推導狀態性質間的偏微分關係。
🔗 馬克斯威爾公式推導邏輯鏈
- 1 寫出基本方程式 — 列出 dU = TdS - PdV
- 2 識別狀態函數 — 確認 U 為狀態函數，其微分為全微分
- 3 應用尤拉交互關係 — 對 S 與 V 進行二階混合偏微分相等運算
- 4 得出目標關係式 — 整理等號兩側得出 (∂T/∂V)s = -(∂P/∂S)v
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🔄 延伸學習：延伸學習：同樣方法可推導出焓 (H)、亥姆霍茲自由能 (A) 與吉布斯自由能 (G) 的關係式。
