高考申論題
110年
[電信工程] 通信與系統
第 一 題
📖 題組：
令訊息訊號 m(t) = cos(2000πt)，用於單旁波帶（single-side band, SSB）振幅調變訊號。其中載波振幅為 Ac = 100，中心頻率為 fc。
令訊息訊號 m(t) = cos(2000πt)，用於單旁波帶（single-side band, SSB）振幅調變訊號。其中載波振幅為 Ac = 100，中心頻率為 fc。
📝 此題為申論題，共 3 小題
小題 (一)
求m(t)的希爾伯（Hilbert）轉換 m̂(t)。（4 分）
思路引導 VIP
看到希爾伯轉換（Hilbert Transform），應立即聯想到其在頻域表現為對正頻率成分產生 -90° 相位位移、對負頻率成分產生 +90° 相位位移的特性，即轉移函數為 -j sgn(f)。解題時，先利用傅立葉轉換將餘弦訊號轉至頻域，乘上該轉移函數後再進行反轉換，即可獲得嚴謹的推導分數。
小題 (二)
求下旁波帶之時域訊號。（8 分）
思路引導 VIP
看到單旁波帶(SSB)調變，應立即聯想到其時域的解析表達式，即利用訊息訊號及其希爾柏轉換(Hilbert Transform)與載波進行正交組合。對於下旁波帶(LSB)，取號為『加號』；亦可直接利用雙旁波帶抑制載波(DSB-SC)的積化和差公式，濾除高頻項來驗證答案。
小題 (三)
求下旁波帶之傅立葉轉換。（8 分）
思路引導 VIP
看到求單旁波帶(SSB)訊號的頻譜，首先應寫出下旁波帶(LSB)的時域數學表示式，此時需利用希爾伯特轉換求得正交訊號。接著代入給定數值並利用三角函數和差化積公式化簡為單一餘弦波，最後使用傅立葉轉換公式將時域訊號轉換至頻域即可得解。
希爾伯轉換核心運算
💡 利用頻域移相特性，將原訊號之正頻率成分相位延遲 90 度。
🔗 希爾伯轉換推導三步驟
- 1 傅立葉轉換 — 將時域 m(t) 轉為頻譜 M(f)
- 2 頻域移相 — 乘上轉移函數 -j sgn(f)
- 3 反傅立葉轉換 — 將運算後的頻譜轉回時域 m_hat(t)
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🔄 延伸學習：延伸學習：解析訊號 z(t) = m(t) + j m_hat(t) 僅含正頻率成分
