高考申論題
110年
[統計] 抽樣方法
第 四 題
📖 題組：
某人欲研析某地區街貓數目，將該地區劃分為四等份並編號 i=1, 2, 3, 4
如下：
1 2
3 4
而其所採之抽樣設計分兩階段進行如下：
⑴首先隨機選擇一個區域並觀察該區域街貓數目(y_i)。
⑵若y_i > 10，則繼續觀察其相鄰之兩個區域作為樣本區域，否則若 y_i ≤
10，則隨機選擇剩下未觀察之三個區域中的其中一個區域作為樣本區域。
例如若第 1 個區域在第⑴階段被選，且y_i ≤ 10，則在其他第 2, 3, 4 等三個區域中再隨機選擇一個區域觀察，若y_i > 10，則繼續觀察第 2 及 3 個區域。注意：第 1 及第 4 個區域不相鄰，同理第 2 及第 3 個區域不相鄰。
今假設該地區街貓實際分布如下：
y_1 = 7, y_2 = 13, y_3 = 19, y_4 = 1
請根據此抽樣設計及母體，回答下列問題：（每小題 5 分，共 20 分）
某人欲研析某地區街貓數目，將該地區劃分為四等份並編號 i=1, 2, 3, 4
如下：
1 2
3 4
而其所採之抽樣設計分兩階段進行如下：
⑴首先隨機選擇一個區域並觀察該區域街貓數目(y_i)。
⑵若y_i > 10，則繼續觀察其相鄰之兩個區域作為樣本區域，否則若 y_i ≤
10，則隨機選擇剩下未觀察之三個區域中的其中一個區域作為樣本區域。
例如若第 1 個區域在第⑴階段被選，且y_i ≤ 10，則在其他第 2, 3, 4 等三個區域中再隨機選擇一個區域觀察，若y_i > 10，則繼續觀察第 2 及 3 個區域。注意：第 1 及第 4 個區域不相鄰，同理第 2 及第 3 個區域不相鄰。
今假設該地區街貓實際分布如下：
y_1 = 7, y_2 = 13, y_3 = 19, y_4 = 1
請根據此抽樣設計及母體，回答下列問題：（每小題 5 分，共 20 分）
📝 此題為申論題，共 4 小題
小題 (四)
請問 y 之均方誤差（mean square error）為何？
思路引導 VIP
MSE 的定義是 $E[(\bar{y} - \mu)^2]$。我們已經有了所有樣本的 $\bar{y}$、機率 $P(s)$ 以及母體平均 $\mu=10$。直接帶入公式計算即可。
小題 (一)
若不考慮樣本出現順序，樣本組合為s = (2, 3)之機率為何？
思路引導 VIP
本題屬於「適應性抽樣」或「非等機率抽樣」的變形。解題重點在於釐清「樣本空間」的所有可能路徑。首先要識別哪些區域是相鄰的（1-2, 1-3, 2-4, 3-4），哪些不相鄰（1-4, 2-3）。接著，根據第一階段抽中 1, 2, 3, 4 的四種初始情況，分別計算第二階段會產生的樣本組合及其機率。最後檢查樣本組合是否包含 {2, 3}。
小題 (二)
第 4 個區域之抽樣包含機率（inclusion probability）？
思路引導 VIP
包含機率 $\pi_i$ 是指該單位在所有可能的樣本組合中出現的機率總和。我們需要回到(一)所列出的所有樣本路徑，找出哪些路徑包含「區域 4」，並將這些路徑的機率相加。
小題 (三)
若以觀察值之平均值，記為 y ，為母體平均之估計量，請問 y 之偏誤（bias）為何？
思路引導 VIP
這題要求的是 $\bar{y}$ (樣本平均數) 的偏誤。偏誤 = $E[\bar{y}] - \mu$。母體平均 $\mu$ 很容易計算。關鍵在於算出 $E[\bar{y}]$，這需要列出所有可能的樣本組合，算出各組合的平均值，再乘以該組合發生的機率進行期望值加總。注意，如果樣本大小 $n$ 不固定，計算平均時要用該次樣本的實際 $n$。
均方誤差定義與計算
💡 掌握 MSE 為變異數與偏誤平方之和，並需依樣本機率加權計算。
🔗 MSE 求解標準程序
- 1 計算母體參數 — 求出母體平均數 $\bar{Y}$ 或總和作為基準
- 2 窮舉樣本組合 — 依抽樣規則列出所有樣本 $s$ 及其機率 $P(s)$
- 3 計算估計值 — 算出各樣本對應的估計量 $\hat{\theta}_s$ 值
- 4 彙總加權平方差 — 套用 $\sum P(s)(\hat{\theta}_s - \bar{Y})^2$ 得出 MSE
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🔄 延伸學習：延伸學習：利用 MSE 比較不同抽樣設計間的優劣程度。
