高考申論題
110年
[統計] 抽樣方法
第 一 題
📖 題組：
某人於康寧鄉進行一項有關 110 年 6 月農牧業從業戶之生產成本及收入 調查，該鄉共有 3 戶養豬場，10 戶養雞場，農業從業戶之戶數不詳，但 由航空測量之空照圖可判明康寧鄉之農地面積為 300 公頃，而根據公務 資料，康寧鄉 6 月之雞隻在養隻數為 10,000 隻。 其抽樣設計如下：養豬場全選，養雞場及農業戶則分別以簡單隨機抽樣 取出不放回之方式各選擇 4 戶養雞場及 10 戶農業戶，調查所得資料如 下： 養豬場： 6 月平均在養豬頭數 500 750 200 6 月生產成本（萬元） 300 450 150 養雞場： 6 月平均在養雞隻數 500 1500 300 200 6 月生產成本（萬元） 35 120 15 30 農業戶： 耕地面積（公頃） 2 0.5 5 1 0.3 2 1.2 3 1 4 6 月生產成本（萬元） 2 6 6 1 5 5 2 3 5 5 請回答下列問題：
某人於康寧鄉進行一項有關 110 年 6 月農牧業從業戶之生產成本及收入 調查，該鄉共有 3 戶養豬場，10 戶養雞場，農業從業戶之戶數不詳，但 由航空測量之空照圖可判明康寧鄉之農地面積為 300 公頃，而根據公務 資料，康寧鄉 6 月之雞隻在養隻數為 10,000 隻。 其抽樣設計如下：養豬場全選，養雞場及農業戶則分別以簡單隨機抽樣 取出不放回之方式各選擇 4 戶養雞場及 10 戶農業戶，調查所得資料如 下： 養豬場： 6 月平均在養豬頭數 500 750 200 6 月生產成本（萬元） 300 450 150 養雞場： 6 月平均在養雞隻數 500 1500 300 200 6 月生產成本（萬元） 35 120 15 30 農業戶： 耕地面積（公頃） 2 0.5 5 1 0.3 2 1.2 3 1 4 6 月生產成本（萬元） 2 6 6 1 5 5 2 3 5 5 請回答下列問題：
📝 此題為申論題，共 4 小題
小題 (一)
請以您認為合適的估計量推估康寧鄉養雞場平均 6 月每場之生產成本以及其 95%信賴區間，並說明使用該估計量之理由，並據以計算如果下年度想針對康寧鄉的養雞場再執行一次生產成本調查以推估該年度 6 月平均每場生產成本，並希望能將 95%最大抽樣誤差控制在 6 萬元以內，請問所需最小樣本數為何？（15 分）
思路引導 VIP
養雞場已知總體雞隻數（輔助資訊），且樣本中有每場成本與雞隻數，暗示可考慮比率估計量（Ratio Estimator）。但題目問「平均每場」，若單純以簡單隨機抽樣平均數估計亦可。理由部分應提及輔助變數與感興趣變數的相關性。樣本數計算則需使用簡單隨機抽樣的公式，並考慮有限母體校正（FPC）。
小題 (二)
請問康寧鄉畜牧戶從業戶 6 月平均每場之生產成本以及其 95%信賴區間為何？（10 分）
思路引導 VIP
畜牧戶包含「養豬」與「養雞」。這是一個分層抽樣的概念。第一層（豬）是普查，第二層（雞）是抽樣。需要將兩層的總值相加後除以總戶數 (3+10=13)。
小題 (三)
請以您認為合適的估計量推估康寧鄉 6 月總生產成本以及其 95%信賴區間，並說明使用該估計量之理由。（10 分）
思路引導 VIP
針對「農業戶」，已知總耕地面積為 300 公頃（輔助資訊），但不知總戶數。這非常適合使用「比率估計量」來估計總值，因為 $\hat{Y}R = \frac{\sum y_i}{\sum x_i} X{total}$，公式中不需要知道總戶數 $N$。
小題 (四)
請問康寧鄉 6 月農牧業總生產成本以及其 95%信賴區間為何？（5 分）
思路引導 VIP
這是最後的綜合，將（二）的畜牧業總值與（三）的農業總值相加。因為各層抽樣是獨立的，總值的變異數等於各層變異數之和。