高考申論題
110年
[農業機械] 農業機電與控制
第 一 題
📖 題組：
五、圖(a)為裝置於曳引機上之加速度計（Accelerometer），此系統之運動方程式為 $m\ddot{x}_r(t) + b\dot{x}_r(t) + kx_r(t) = -m\ddot{x}_i(t)$ 其中 m 為其質量、b 為阻尼係數（Damping coefficient），k 為其彈簧常數（Spring constant） 若輸入信號為 $x_i(t) = X_i\sin(\omega t)$ 其中 xr(t)為質塊（Mass）與外殼（Housing）的相對位移，ω 為振動頻率，而在此線性系統中，$x_r(t)=X_r\sin(\omega t+\phi)$，其中φ為相位角，ωn為系統之自然頻率（Natural frequency），ζ 為阻尼比（Damping ratio）。 經過一番導證得到輸出與輸入之關係式如下： $H_a(\omega) = \frac{X_r \omega_n^2}{X_i \omega^2} = \frac{1}{\left[ \left( 1 - (\frac{\omega}{\omega_n})^2 \right)^2 + 4\zeta^2 (\frac{\omega}{\omega_n})^2 \right]^{1/2}}$ (一)請問此加速度計係根據什麼原理來量測加速度？詳細說明之。可參考圖(a)及(b)。（7 分） (二)請問增加 ωn 或減少 ωn 對擴大量測範圍是否有幫助？為什麼？請參考圖(b)。（7 分） (三)請問要能量測到最大的頻寬，ζ 應該取多少？為什麼？請參考圖(b)。（6 分）
五、圖(a)為裝置於曳引機上之加速度計（Accelerometer），此系統之運動方程式為 $m\ddot{x}_r(t) + b\dot{x}_r(t) + kx_r(t) = -m\ddot{x}_i(t)$ 其中 m 為其質量、b 為阻尼係數（Damping coefficient），k 為其彈簧常數（Spring constant） 若輸入信號為 $x_i(t) = X_i\sin(\omega t)$ 其中 xr(t)為質塊（Mass）與外殼（Housing）的相對位移，ω 為振動頻率，而在此線性系統中，$x_r(t)=X_r\sin(\omega t+\phi)$，其中φ為相位角，ωn為系統之自然頻率（Natural frequency），ζ 為阻尼比（Damping ratio）。 經過一番導證得到輸出與輸入之關係式如下： $H_a(\omega) = \frac{X_r \omega_n^2}{X_i \omega^2} = \frac{1}{\left[ \left( 1 - (\frac{\omega}{\omega_n})^2 \right)^2 + 4\zeta^2 (\frac{\omega}{\omega_n})^2 \right]^{1/2}}$ (一)請問此加速度計係根據什麼原理來量測加速度？詳細說明之。可參考圖(a)及(b)。（7 分） (二)請問增加 ωn 或減少 ωn 對擴大量測範圍是否有幫助？為什麼？請參考圖(b)。（7 分） (三)請問要能量測到最大的頻寬，ζ 應該取多少？為什麼？請參考圖(b)。（6 分）
📝 此題為申論題，共 3 小題
小題 (一)
請問此加速度計係根據什麼原理來量測加速度？詳細說明之。可參考圖(a)及(b)。（7 分）
思路引導 VIP
看到此題，首先從圖(a)的質量-彈簧-阻尼系統切入，聯想牛頓第二定律，外殼受加速度時內部質塊會因慣性產生相對位移。接著結合系統方程式，將輸入位移振幅 $X_i$ 轉換為加速度振幅 $X_i\omega^2$，再對照圖(b)的頻率響應曲線，指出當操作頻率遠小於自然頻率時，響應值趨近於1，此時相對位移與輸入加速度成絕對正比關係。
小題 (二)
請問增加 ωn 或減少 ωn 對擴大量測範圍是否有幫助？為什麼？請參考圖(b)。（7 分）
思路引導 VIP
- 確認加速度計有效量測區域：在頻率響應圖中，$H_a(\omega) \approx 1$ 的平坦區段即為可用範圍，此時位移與加速度成正比。2. 判斷 ωn 的影響：由圖(b)可知平坦區發生在 $\omega/\omega_n \ll 1$ 的低頻段。要擴大可量測的輸入頻率 ω，必須提高自然頻率 ωn，使高頻訊號的 $\omega/\omega_n$ 仍落在此平坦區內。
小題 (三)
請問要能量測到最大的頻寬，ζ 應該取多少？為什麼？請參考圖(b)。（6 分）
思路引導 VIP
引導考生觀察圖(b)中各阻尼比曲線的平坦程度。尋找能在不產生共振峰的前提下，維持增益接近 1 最寬廣的曲線，藉此得出阻尼比為 0.707，並利用「最大平坦響應」的原理解釋過大或過小阻尼對量測頻寬的負面影響。