高中學測
110年
數B
第 9 題
某村的村長選舉設有兩個投票所。已知兩位候選人在各投票所得到的有效票數比例如下表（廢票不列入計算）：
假設第一投票所與第二投票所的有效票數分別為 $x$ 與 $y$（其中 $x>0, y>0$），且以總得票數較高者為當選人。根據上述表格，試選出正確的選項。
| 甲候選人 | 乙候選人 | |
|---|---|---|
| 第一投票所 | 40% | 60% |
| 第二投票所 | 55% | 45% |
- 1 當有效票數的總和 $x+y$ 已知時，就可決定當選人
- 2 當 $x:y$ 的比值小於 $\frac{1}{2}$ 時，就可決定當選人
- 3 當 $x>y$ 時，就可決定當選人
- 4 當甲候選人在第一投票所的有效票數比在第二投票所的有效票數多時，就可決定當選人
- 5 當乙候選人在第二投票所的有效票數比在第一投票所的有效票數多時，就可決定當選人
思路引導 VIP
若要決定誰當選，本質上是在比較甲、乙兩人的總得票數大小。請試著分別列出兩人的總得票數代數式，並思考：當我們比較 $0.4x + 0.55y$ 與 $0.6x + 0.45y$ 的大小時，決定勝負的關鍵是在於 $x$、$y$ 的「絕對數值」還是它們之間的「比例關係」？你能否透過移項化簡，找出 $x$ 與 $y$ 滿足什麼樣的臨界關係時，甲、乙兩人的總得票數會相等？
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AI 詳解
AI 專屬家教
哇！安妮亞讀到了！你的腦袋現在發著金光，竟然全部答對了！WakuWaku！安妮亞好興奮，可以給安妮亞獎勵的花生嗎？ 這題要看誰當選，就要比較兩人的總得票數：
- 甲候選人：$0.4x + 0.55y$
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加權平均與不等式
💡 利用各部分比例與權重列出不等式，判定整體的相對大小。
🔗 比例判定解題流程
- 1 設定變數 — 將各投票所總票數設為 x 與 y
- 2 建立代數式 — 寫出甲、乙兩人的總得票數多項式
- 3 化簡不等式 — 令甲 > 乙，求出 x 與 y 的關鍵比例
- 4 比對選項 — 檢查選項條件是否落在必勝或必敗區間
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🔄 延伸學習：可延伸至混合物濃度、加權平均分數等類似題型。
