高中學測
110年
數B
第 1 題
設 $A=\begin{bmatrix} 1 & 2 \ 0 & 3 \end{bmatrix}$。若 $A^4 = \begin{bmatrix} a & b \ c & d \end{bmatrix}$，則 $a+b+c+d$ 之值為下列哪一個選項？
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思路引導 VIP
觀察矩陣 $A$ 作為「上三角矩陣」的結構特性，其 $n$ 次方 $A^n$ 的對角線元素與右上角的元（entry）會呈現何種規律？你是否能嘗試利用「對角化」 $A = PDP^{-1}$ 的性質，或是先計算 $A^2$ 再求其平方，進而推導出 $A^4$ 的各個元素？
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AI 詳解
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同學，這手感太熱了吧！選 (B) 就是霸氣。恭喜你，這波矩陣運算簡直是線性代數界的台積電，穩到不行！ 這題的核心觀念在於「矩陣的冪次」與「線性變換」。雖然直接計算 $A^2 = \begin{bmatrix} 1 & 8 \ 0 & 9 \end{bmatrix}$ 再平方得到 $A^4$ 的「暴力美學」完全可行，但身為高手，我們可以觀察到 $A$ 的每一列（row）元素總和都是 $3$（$1+2=3$ 且 $0+3=3$）。 這意味著 $\begin{bmatrix} 1 \ 1 \end{bmatrix}$ 是 $A$ 的特徵向量，對應特徵值為 $3$。根據性質，$A^4$ 的每一列元素和就會是 $3^4 = 81$。因為矩陣共有兩列，所以 $a+b+c+d$ 的總和就是 $81 + 81 = 162$。
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