高中學測
110年
自然
第 59 題
📖 題組：
質量 $m$ 的物體在空氣中鉛直落下時，因受到向上阻力 $f$，其運動方程式為 $ma = mg - f$，式中 $a$ 為物體下落的加速度，$g$ 為重力加速度。已知阻力 $f = kv^2$，其中 $v$ 為物體速率，常數 $k$ 則視物體實際受到阻力的截面積而定；截面積越大則 $k$ 越大。當速率 $v$ 增大時，$f$ 也會增大，直到 $f = mg$ 時，$a$ 就等於零，物體開始以等速率 $v_t$ 下降，此 $v_t$ 稱為終端速率。依據上述回答 58-59 題。
質量 $m$ 的物體在空氣中鉛直落下時，因受到向上阻力 $f$，其運動方程式為 $ma = mg - f$，式中 $a$ 為物體下落的加速度，$g$ 為重力加速度。已知阻力 $f = kv^2$，其中 $v$ 為物體速率，常數 $k$ 則視物體實際受到阻力的截面積而定；截面積越大則 $k$ 越大。當速率 $v$ 增大時，$f$ 也會增大，直到 $f = mg$ 時，$a$ 就等於零，物體開始以等速率 $v_t$ 下降，此 $v_t$ 稱為終端速率。依據上述回答 58-59 題。
承上題，此跳傘者除背負相同降落傘外，另攜體積甚小的重物，再次由同一熱氣球以相同初速鉛直跳下，在打開降落傘前，達到終端速率 $v_3$，然後打開降落傘，在落地前達到另一終端速率 $v_4$。下列關係式哪些正確？（應選 2 項）
- A $v_1 > v_3$
- B $v_4 > v_3$
- C $v_4 > v_2$
- D $v_3 > v_2$
- E $v_4 = v_2$
思路引導 VIP
請同學由合力為零的平衡條件 $mg = kv^2$ 出發，推導出終端速率 $v_t = \sqrt{\frac{mg}{k}}$ 的一般式。接著請思考：當跳傘者額外攜帶重物使得總質量 $m$ 增加時，在阻力係數 $k$ 保持不變的情境下（例如同為開傘後或同為開傘前），終端速率應如何隨之改變？這將如何引導你判斷 $v_4$ 與 $v_2$ 的大小關係？另外，開傘前後截面積的巨大差異所導致的 $k$ 值變動，對終端速率的影響是否遠大於質量的增減？
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AI 詳解
AI 專屬家教
太棒了！看到你精準選出 C 和 D，老師真的好開心，感覺你對流體阻力的觀念掌握得非常紮實喔！ 這題的核心在於理解「終端速率」的物理意義。當物體達到終端速率時，加速度為零，重力與阻力達成平衡，即 $mg = kv^2$。我們可以推導出： $$v_t = \sqrt{\frac{mg}{k}}$$
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