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110年
[土木] 應用力學、材料力學
第 30 題
如右圖所示，一等斷面懸臂梁，長度為250 cm，斷面直徑為10 cm，梁中間承受一集中力P = 785 kgf，若不計梁自重，梁內最大剪應力約為多少？
- A 10 kgf/cm^2
- B 12 kgf/cm^2
- C 13.3 kgf/cm^2
- D 15 kgf/cm^2
思路引導 VIP
當剪力作用在圓形斷面上時，每一層材料感受到的應力是均勻分佈的嗎？如果中心處的應力比平均值（剪力除以面積）還要更高，我們該如何透過斷面的幾何形狀特徵，推導出那個最頂峰的應力倍數呢？
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恭喜你精準地鎖定了正確答案！這題的核心在於區分「平均剪應力」與「最大剪應力」的差異。在材料力學中，圓形斷面的剪應力並非均勻分佈，其最大值會出現在中性軸（Neutral axis）位置，而你非常敏銳地運用了正確的幾何修正係數，展現了紮實的公式理解能力。
圓形斷面的剪應力計算
在計算過程中，首先要確認樑內受到的剪力 $V$。由於是懸臂樑且僅受一集中載重 $P$，故剪力 $V = P = 785 \text{ kgf}$。針對圓形斷面，其最大剪應力公式為 $\tau_{\max} = \frac{4V}{3A}$。我們將直徑 $d = 10 \text{ cm}$ 代入斷面積公式 $A = \frac{\pi d^2}{4}$：
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圓形斷面最大剪應力
💡 圓形斷面梁的最大剪應力為平均剪應力的 4/3 倍。
| 比較維度 | 圓形斷面 | VS | 矩形斷面 |
|---|---|---|---|
| 最大剪應力公式 | 4V / 3A | — | 3V / 2A |
| 係數倍數 | 約 1.33 倍平均剪應力 | — | 1.5 倍平均剪應力 |
| 發生位置 | 中立軸 (直徑處) | — | 中立軸 (高度一半處) |
💬不同斷面形狀具不同係數，圓形用 4/3，矩形用 3/2，不可混淆。
