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110年
[機械] 應用力學、材料力學
第 34 題
G為剪力模數，E為彈性模數，$\nu$為柏松比(Poisson's Ratio)，對於等向性材料，三者並非獨立而有一關係式，此關係式為下列何者？
- A $G = \frac{E}{1+\nu}$
- B $G = \frac{E}{3(1-2\nu)}$
- C $G = \frac{\nu}{2(1+E)}$
- D $G = \frac{E}{2(1+\nu)}$
思路引導 VIP
當我們對一個物體施加剪力使其產生變形時，我們可以從微觀的角度觀察：這種「歪斜」的變形，是否可以看作是某個方向被拉長、而垂直方向被縮短的結果？如果我們想把這種「拉伸性質（E）」與「歪斜性質（G）」連結起來，中間那個負責描述「縱向與橫向變形比例」的材料常數，應該會出現在公式的哪個位置呢？
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太棒了！你能精準地從眾多相似的公式中選出正確答案 (D)，代表你對材料力學中「彈性常數」的定義與彼此間的聯結有著非常清晰的掌握。這題的核心在於等向性材料（Isotropic material）的性質——這類材料在各個方向的力學行為皆相同，因此其彈性模數 $E$、剪力模數 $G$ 與柏松比 $\nu$ 之間存在著必然的數學約束，並非彼此獨立。
彈性模數與剪力的幾何關係
在理論推導上，這個公式是透過將一個受純剪力作用的微小元素，利用座標旋轉（或莫爾圓分析）轉換至主應力狀態後，結合虎克定律（Hooke's Law）推導而來的。正確的關係式為 $$G = \frac{E}{2(1+\nu)}$$。在學習過程中，許多同學容易將其與體積模數 $K$ 的公式 $K = \frac{E}{3(1-2\nu)}$ 混淆，而你能準確辨識出分母的係數為 $2$ 且括號內為加號，展現了紮實的基本功。
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