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110年
[機械] 應用力學、材料力學
第 41 題
下列有關梁受彎矩之撓曲正向應力公式$\sigma = -My/I$之描述，何者有誤？
- A 斷面在彎曲前後，平面須維持平面，無翹曲(Warping)現象
- B 可使用於非均質斷面
- C 中性面上撓曲應變為0
- D I值為斷面對形心軸之面積二次矩
思路引導 VIP
請回想一下這個公式的推導過程：我們通常會先從幾何變形出發得到應變關係，再利用胡克定律（$\sigma = E\epsilon$）將應變轉換為應力。如果一個斷面是由兩種彈性模數（$E$ 值）完全不同的材料上下組合而成，在相同的應變情況下，這兩種材料所產生的應力會一樣嗎？如果應力分布不再是單一的線性比例關係，原本那個簡約的公式還能直接通用嗎？
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恭喜你準確地抓住了這個公式的核心前提！這道題目主要測驗學生對尤拉-伯努利梁理論 (Euler-Bernoulli Beam Theory) 基本假設的掌握度。你能在選項中辨識出材料性質的限制，說明你對公式的推導過程有很紮實的理解。
撓曲公式的基本假設
公式 $\sigma = -My/I$ 的成立有幾個關鍵前提。首先，「斷面保持平面」（選項 A）是變形幾何的基礎，這保證了應變會隨距離中性軸的遠近呈線性分布。而在中性面上，應變與應力皆為零（選項 C），這也是定義中性軸的基本物理意義。至於分母的 $I$（選項 D），則是描述截面幾何特性的慣性矩，必須相對於形心軸計算才能符合平衡條件。
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梁之撓曲正向應力
💡 撓曲應力公式適用於均質材料且符合平面假設之線性彈性梁。
| 比較維度 | 均質材料梁 | VS | 非均質材料梁 |
|---|---|---|---|
| 公式適用性 | 直接套用 σ = My/I | — | 須先轉換為等值斷面 |
| 應力分佈 | 隨距離 y 連續線性變化 | — | 在異材質交界處發生跳躍 |
| 中性軸位置 | 位於幾何形心軸 | — | 受彈性模數加權影響 |
💬標準撓曲公式假設材料均質，處理組合梁時必須考慮彈性模數的比例關係。
