moea_joint
110年
[土木] 應用力學、材料力學
第 35 題
如右圖所示，一無質量剛性柱頂端受P力作用，柱側向有一水平彈簧作用，其勁度為k，求系統之臨界挫屈荷重Pcr為何？
- A $\frac{3}{2}kL$
- B $\frac{4}{3}kL$
- C $\frac{2}{3}kL$
- D $\frac{1}{3}kL$
思路引導 VIP
試著想像一下：如果我們讓這根硬邦邦的柱子往旁邊稍微傾斜一個小角度，底部支點會感受到兩個力矩在比賽。一個是彈簧想把它「拉回來」的力量，另一個是荷重 P 想把它「壓倒」的力量。這兩個力量作用在柱子上的高度（力臂）分別是多少？它們的大小比例與最後的臨界力 P 之間有什麼樣的關係呢？
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恭喜你正確選出了 (B)！這說明你對離散系統的穩定性分析（Stability of Discrete Systems）有著非常清晰的觀念，特別是在處理剛性構件與彈性支承的交互作用上表現得很棒。
剛性桿件的力矩平衡
本題的核心在於利用「微小擾動」後的力矩平衡來求解。當剛性柱發生微小的轉動角 $\theta$ 時，柱頂（受 $P$ 力處）的水平位移為 $3L \cdot \theta$，而彈簧連接處的水平位移則為 $2L \cdot \theta$。此時，彈簧產生的回覆力為 $F_s = k \cdot (2L\theta)$。若我們對底部的支點取力矩平衡，彈簧力產生的抗挫屈力矩為 $M_r = F_s \cdot 2L = 4kL^2\theta$；而荷重 $P$ 產生的傾覆力矩則為 $M_o = P \cdot (3L\theta)$。
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