地特三等申論題
111年
[統計] 迴歸分析
第 一 題
📖 題組：
一位統計分析師想瞭解身高（Yi，以英寸為單位）是否可以用手掌張開長度（X1，以公分為單位）和性別（X2，男性是 1，女性是 0）來預測？他收集 66 名大學生為樣本。所配適的線性迴歸模型如下： Yi = β0 + β1X1i + β2X2i + εi, i = 1,···,n. 請依據表 1 回答下列問題。 表1: ANOVA Source | Sum of Squares | DF | Mean square | F test Regression | 840.8436 | 2 | | Error | (1) | (3) | (5) | （Lack of fit）| (2) | (4) | | （Pure error）| 283.8476 | 45 | | Total | 1220.4394 | 65 | |
一位統計分析師想瞭解身高（Yi，以英寸為單位）是否可以用手掌張開長度（X1，以公分為單位）和性別（X2，男性是 1，女性是 0）來預測？他收集 66 名大學生為樣本。所配適的線性迴歸模型如下： Yi = β0 + β1X1i + β2X2i + εi, i = 1,···,n. 請依據表 1 回答下列問題。 表1: ANOVA Source | Sum of Squares | DF | Mean square | F test Regression | 840.8436 | 2 | | Error | (1) | (3) | (5) | （Lack of fit）| (2) | (4) | | （Pure error）| 283.8476 | 45 | | Total | 1220.4394 | 65 | |
📝 此題為申論題，共 3 小題
小題 (一)
請計算表 1 中(1)−(5)所列的線性迴歸的 ANOVA 相關訊息。（10 分）
思路引導 VIP
看到 ANOVA 表格填空題，首先要聯想到變異數分析中「平方和(SS)」與「自由度(DF)」的可加性原理：Total = Regression + Error，且 Error = Lack of fit + Pure error。利用這些加總關係求出未知的 SS 與 DF 後，再以 SS 處以對應的 DF 即可算出 Mean square。
小題 (二)
在顯著水準 5%下，請檢定身高是否與手掌張開長度(X1)和性別(X2)有線性關係存在。請列出虛無假設/對立假設、檢定統計量及決策法則。在無需查表之下，你的建議結論為何？（5 分）
思路引導 VIP
看到整體線性關係檢定，應立即聯想到 ANOVA 表中的 F 檢定。先利用平方和分解定理（SST = SSR + SSE）求出誤差平方和與均方，再建立假設、計算 F 統計量，並依據統計量極端值直接判斷結論。
小題 (三)
在顯著水準 5%下，請檢定線性迴歸模型是否有顯著的缺適（lack of fit）？以了解線性迴歸模型是否足以描述身高與手掌張開長度(X1)和性別(X2)之間的關係。請列出虛無假設/對立假設、檢定統計量及決策法則。在無需查表之下，你的建議結論為何？請說明缺適檢定所需要之假設。（10 分）
思路引導 VIP
看到缺適檢定（Lack of Fit test），首先想到需將殘差平方和（SSE）拆分為純誤差平方和（SSPE）與缺適平方和（SSLF）。透過計算 F = MSLF / MSPE，並與臨界值比較，若 F 值小於 1 則必不拒絕 H0，最後記得寫出執行此檢定所需的基本假設（如常態性、變異數同質性及需有重複觀測值）。