地特三等申論題
111年
[統計] 迴歸分析
第 一 題
📖 題組：
一位統計分析師受託分析 20 名年齡 40~60 歲高血壓患者的血壓相關數據，以評估可能影響血壓的重要因素，資料描述如下： 血壓（Y，反應變數，以 mm Hg 為單位），年齡（X1，以年為單位），重量（X2，公斤），體表面積（X3，平方公尺），高血壓病史（X4，以年為單位），基礎脈搏（X5，以每分鐘為單位），壓力指數（X6，0−100 為範圍）。部分統計套裝軟體輸出結果在表 2 和表 3。 表2 反應變數 | 5個解釋變數 | 判定係數 R² X1 | X2-X6 | 0.451 X2 | X1, X3-X6 | 0.925 X3 | X1-X2, X4-X6| 0.905 X4 | X1-X3, X5-X6| 0.196 X5 | X1-X4, X6 | 0.754 X6 | X1-X5 | 0.416 表3 解釋變數 | Type I SS | 偏判定係數 X1 | SSR(X1) 243.266 | R²_{Y,X1} 0.4344 X2 | SSR(X2|X1) 306.886 | R²_{Y,X2|X1} 0.96891 X3 | SSR(X3|X1,X2) 0.765 | R²_{Y,X3|X1,X2} 0.07763 X4 | SSR(X4|X1,X2,X3) 0.250 | R²_{Y,X4|X1,X2,X3} 0.02755 X5 | SSR(X5|X1,X2,X3,X4) 0.965 | R²_{Y,X5|X1,X2,X3,X4} 0.1092 X6 | SSR(X6|X1,X2,X3,X4,X5) 1.023E-04 | R²_{Y,X6|X1,X2,X3,X4,X5} 1.3E-05
一位統計分析師受託分析 20 名年齡 40~60 歲高血壓患者的血壓相關數據，以評估可能影響血壓的重要因素，資料描述如下： 血壓（Y，反應變數，以 mm Hg 為單位），年齡（X1，以年為單位），重量（X2，公斤），體表面積（X3，平方公尺），高血壓病史（X4，以年為單位），基礎脈搏（X5，以每分鐘為單位），壓力指數（X6，0−100 為範圍）。部分統計套裝軟體輸出結果在表 2 和表 3。 表2 反應變數 | 5個解釋變數 | 判定係數 R² X1 | X2-X6 | 0.451 X2 | X1, X3-X6 | 0.925 X3 | X1-X2, X4-X6| 0.905 X4 | X1-X3, X5-X6| 0.196 X5 | X1-X4, X6 | 0.754 X6 | X1-X5 | 0.416 表3 解釋變數 | Type I SS | 偏判定係數 X1 | SSR(X1) 243.266 | R²_{Y,X1} 0.4344 X2 | SSR(X2|X1) 306.886 | R²_{Y,X2|X1} 0.96891 X3 | SSR(X3|X1,X2) 0.765 | R²_{Y,X3|X1,X2} 0.07763 X4 | SSR(X4|X1,X2,X3) 0.250 | R²_{Y,X4|X1,X2,X3} 0.02755 X5 | SSR(X5|X1,X2,X3,X4) 0.965 | R²_{Y,X5|X1,X2,X3,X4} 0.1092 X6 | SSR(X6|X1,X2,X3,X4,X5) 1.023E-04 | R²_{Y,X6|X1,X2,X3,X4,X5} 1.3E-05
📝 此題為申論題，共 3 小題
小題 (一)
這位分析師一開始採用(1)式中模型 1 的複迴歸分析，他擔心有多重共線性（Multicollinearity）問題。
模型 1：
Yi = β1X1i + β2X2i + β3X3i + β4X4i + β5X5i + β6X6i + εi, i = 1,···,n. (1)
請協助這位分析師利用表 2 判斷是否有嚴重的多重共線性，並說明模型 1 是否合適？如果不合適，請詳細說明原因和判斷方法。（5 分）
思路引導 VIP
看到表 2 給定「某個解釋變數對其他所有解釋變數回歸的判定係數 (R²)」，應立刻聯想到計算「變異數膨脹因子 (VIF)」的公式：VIF = 1 / (1 - R²)。接著以 VIF > 10（即 R² > 0.9）為標準判斷是否存在共線性，並依此論述共線性對迴歸模型造成的負面影響（如變異數膨脹、係數不穩定、t檢定失效），從而結論模型 1 不合適。
小題 (二)
表 3 第二欄的定義，若 SSR（Xi|Xj）代表給定 Xj已在模型中，Xi加入模型中的額外平方和（extra sum of squares）。請計算 SSR（X1,X2,X3,X4,X5,X6）。最後一欄符號代表偏判定係數（coefficient of partial determination）。請說明偏判定係數R²_{Y, X3|X1,X2}的計算式及其意義。請利用表 3 結果，建議分析師採用那些變數，詳細說明理由和判斷方法。（10 分）
思路引導 VIP
看到 Type I SS 應立刻聯想到順序平方和具備可加性，直接加總即可得整體模型的迴歸平方和。偏判定係數則衡量給定既有變數下新變數的「邊際解釋力」，答題時應運用逐步迴歸（Forward Selection）的思維檢視邊際貢獻衰減，並結合常理判定多重共線性的風險來進行變數篩選。
小題 (三)
請利用表 3 結果及 SST=560，SSR（X1,X2,X5）=551.568，計算 SSR（X5|X1,X2）和偏判斷係數R²_{Y,X5|X1,X2}。（10 分）
思路引導 VIP
解題核心在於利用 Type I SS 的加法性質（Sequential SS）。先透過 SSR(X1,X2,X5) 減去表中的 SSR(X1) 及 SSR(X2|X1) 求得額外迴歸平方和 SSR(X5|X1,X2)。接著，利用總變異 SST 扣除 SSR(X1,X2) 算出殘差平方和 SSE(X1,X2)，兩者相除即為偏判定係數。