地特四等
111年
[電子工程] 計算機概要
第 7 題
假設 X 和 Y 為布林變數，符號「*」、「+」、「~」、「⊕」分別代表 AND、OR、NOT、XOR（exclusive OR）四種運算子。下列何者與函數 X⊕Y 等價？
- A X*Y+(~X)*(~Y)
- B X*(~Y)+(~X)*Y
- C (X+Y)*((~X)+(~Y))
- D (X+(~Y))*((~X)+Y)
思路引導 VIP
我們都知道 XOR 的意義是「兩個變數狀態不同時，結果才為真」。試著用布林代數的分配律，將選項中的括號一一展開並化簡，看看哪幾個式子最後留下的結果，正好能對應到這個定義呢？
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AI 詳解
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同學你好，看來你在 XOR（互斥或） 的邏輯定義上產生了一點混淆。你選擇的 (A) 選項 $X * Y + (\sim X) * (\sim Y)$ 描述的是「當 X 與 Y 同時為真或同時為假」的情況，這在數位邏輯中稱為 XNOR（同或）；而 XOR 的核心精神在於「排他性」，即當輸入不同時輸出才為真。其最經典的布林表示式為 $X * (\sim Y) + (\sim X) * Y$，這正是選項 (B)。
布林代數的等價推導與爭議分析
值得注意的是，本題在國考公告中被列為爭議題，最終認定 (B) 與 (C) 皆為正確答案。為什麼 (C) 選項 $(X+Y) * ((\sim X)+(\sim Y))$ 也是正確的呢？如果我們利用分配律將其展開，會得到 $X * (\sim X) + X * (\sim Y) + Y * (\sim X) + Y * (\sim Y)$。根據補數律，$X * (\sim X) = 0$，因此式子會化簡為 $X * (\sim Y) + (\sim X) * Y$，這與 (B) 完全等價，屬於 XOR 的「和之積」(POS) 表示法。
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