高考申論題
111年
[水利工程] 流體力學
第 一 題
📖 題組：
四、一均勻薄層流在傾角為 $\theta$ 之斜坡上往下流動速度如下：
$u(y) = \frac{\rho g}{\mu} y (d - \frac{y}{2}) \sin\theta$
式中，$y$ 表垂直坡面之座標，$d$ 為水流斷面深度，$u$ 為沿著坡面流下之速度，$g$ 表重力加速度，$\mu$ 為流體之動力黏滯係數，$\rho$ 為流體密度。求：
（每小題 10 分，共 20 分）
(一)單位寬度之體積流率 q
(二)平均速度（$\bar{V}$）和最大速度（$u_{max}$）之比值，即 $\frac{\bar{V}}{u_{max}} = ?$
四、一均勻薄層流在傾角為 $\theta$ 之斜坡上往下流動速度如下：
$u(y) = \frac{\rho g}{\mu} y (d - \frac{y}{2}) \sin\theta$
式中，$y$ 表垂直坡面之座標，$d$ 為水流斷面深度，$u$ 為沿著坡面流下之速度，$g$ 表重力加速度，$\mu$ 為流體之動力黏滯係數，$\rho$ 為流體密度。求：
（每小題 10 分，共 20 分）
(一)單位寬度之體積流率 q
(二)平均速度（$\bar{V}$）和最大速度（$u_{max}$）之比值，即 $\frac{\bar{V}}{u_{max}} = ?$
📝 此題為申論題，共 2 小題
小題 (一)
(一)單位寬度之體積流率 q
思路引導 VIP
本子題要求單位寬度的體積流率 $q$。思考邏輯是：已知速度剖面 $u(y)$，流率即為速度在截面上的積分。因為是求「單位寬度」，所以積分微小面積 $dA$ 就等於 $(1 \times dy) = dy$。因此公式為 $q = \int_0^d u(y) dy$。只要將題目給定的 $u(y)$ 多項式小心展開並做定積分，將上下界 $0$ 到 $d$ 代入即可求得答案。重點在於積分過程不要漏掉常數項。
小題 (二)
(二)平均速度（$\bar{V}$）和最大速度（$u_{max}$）之比值，即 $\frac{\bar{V}}{u_{max}} = ?$
思路引導 VIP
本子題要求平均速度與最大速度的比例。思考步驟分為兩部分：
- 求平均速度 $\bar{V}$：利用定義 $\bar{V} = q / d$，直接拿前一題算出的 $q$ 除以深度 $d$ 即可。
斜坡薄層流流量計算
💡 透過流速剖面積分求得單位寬度體積流率。
🔗 流率推導標準作業程序 (SOP)
- 1 建立定義式 — 寫出 q 等於速度 u(y) 對深度 y 從 0 到 d 的定積分。
- 2 提取常數項 — 將重力、密度、黏滯係數等常數移出積分符號外。
- 3 執行多項式積分 — 針對 y 的一次與二次項進行積分運算。
- 4 代入邊界求解 — 代入水深 d 與底面 0，整理得出最終流率公式。
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🔄 延伸學習：延伸學習：利用求得之 q 除以深度 d，即可得到平均流速。
