高考申論題
111年
[電子工程] 電磁學
第 二 題
📖 題組：
考慮一半徑為 R 的圓球，其球心置於原點，其外部電荷為零，內部電荷分布為 ρ(r) = ρ₀(r/R)，ρ₀ 為一常數。（每小題 10 分，共 20 分）
考慮一半徑為 R 的圓球，其球心置於原點，其外部電荷為零，內部電荷分布為 ρ(r) = ρ₀(r/R)，ρ₀ 為一常數。（每小題 10 分，共 20 分）
📝 此題為申論題，共 2 小題
小題 (二)
計算在 r > R 處的電場。
思路引導 VIP
當觀測點在球體外部時，電荷的總量是固定的。思路如下：1. 計算整個圓球（0 到 R）所含的總電荷 Q_total。2. 在 r > R 處，高斯定律的左側依然是 E ⋅ (4πr²)，但右側的 Q_enc 會等於總電荷 Q_total。3. 這意味著球體外部的電場分布會如同點電荷位於原點一般。
小題 (一)
計算在 r < R 處的電場。
思路引導 VIP
看到「球形電荷分布」且具備「球對稱性」，首要反應是應用高斯定律（Gauss's Law）。解題步驟如下：1. 識別對稱性：由於電荷分布僅與半徑 r 有關，電場方向必為徑向。2. 設定高斯面：選取半徑為 r 的球面作為高斯面。3. 計算封閉面內電荷量：因為電荷密度不是常數，需要對 ρ(r) 進行體積分。4. 應用高斯定律公式：∮ E⋅dA = Q_enc / ε₀，求出 E。
球體外部電場計算
💡 應用高斯定律求解球對稱電荷分布之外部電場。
🔗 球體外部電場求解流程
- 1 密度積分 — 將密度 ρ(r) 於 0 到 R 範圍進行體積分求總電荷 Q
- 2 選取球面 — 於 r > R 處選取高斯球面，其面積為 4πr²
- 3 代入通量 — 根據高斯定律將左側通量與右側總電量等置
- 4 解出電場 — 整理公式得 E 隨 r² 成反比之解析解
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🔄 延伸學習：延伸學習：若欲求球體內部電場，積分上限應改為變數 r。
