高考申論題
111年
[統計] 抽樣方法
第 一 題
📖 題組：
金芒鄉是主要的芒果產區，鄉內農戶有專門種植芒果之專業果農，也有混種其他作物而僅部分種植芒果之農戶，專業芒果之農戶名冊可由農林漁牧業普查資料中獲得，但兼種芒果之農戶時有變動，無法經由普查資料中確認，惟為求精確推估金芒鄉本年度芒果產值，亦須將兼種芒果之農戶之芒果產值列入。在本鄉一共 500 戶農戶中，有 100 戶為專業種植芒果的農戶，而此 100 戶中，有 5 戶為大型農戶，95 戶為中小型農戶。本調查以下列方式選擇樣本農戶進行金芒鄉本年度之調查：5 戶大型專業芒果農戶全數加以調查。接下來在全金芒鄉之 11 個村中，以簡單隨機抽樣取出不放回之方式選擇其中 6 個村，每個樣本村中再以簡單隨機抽樣取出不放回之方式選擇 5 戶中小型專業芒果農戶，若該村中小型專業芒果農戶數不足或等於 5 戶，則該村所有中小型專業芒果農戶全數加以調查。另外以簡單隨機抽樣取出不放回之方式在其餘農戶中選擇其中 50 戶作為樣本戶。 本調查各類農戶所得資料綜整如下： ⑴大型專業芒果農戶：平均值為 125 萬元，標準差為 20 萬元。 ⑵中小型專業芒果農戶：6 個樣本村之資料如下： | 村別 | 文新村 | 文景村 | 文佑村 | 金河村 | 同億村 | 同欣村 | |---|---|---|---|---|---|---| | 總戶數 | 16 | 4 | 3 | 12 | 2 | 13 | | 平均值（萬元） | 30 | 25 | 30 | 25 | 20 | 30 | | 標準差（萬元） | 5 | 10 | 6 | 5 | 8 | 8 | ⑶其餘農戶：50 戶樣本戶中，有 10 戶種植芒果，而這 10 戶之平均芒果產值為 12 萬元，標準差為 8 萬元。 請回答下列問題（請以萬元為單位作答）：
金芒鄉是主要的芒果產區，鄉內農戶有專門種植芒果之專業果農，也有混種其他作物而僅部分種植芒果之農戶，專業芒果之農戶名冊可由農林漁牧業普查資料中獲得，但兼種芒果之農戶時有變動，無法經由普查資料中確認，惟為求精確推估金芒鄉本年度芒果產值，亦須將兼種芒果之農戶之芒果產值列入。在本鄉一共 500 戶農戶中，有 100 戶為專業種植芒果的農戶，而此 100 戶中，有 5 戶為大型農戶，95 戶為中小型農戶。本調查以下列方式選擇樣本農戶進行金芒鄉本年度之調查：5 戶大型專業芒果農戶全數加以調查。接下來在全金芒鄉之 11 個村中，以簡單隨機抽樣取出不放回之方式選擇其中 6 個村，每個樣本村中再以簡單隨機抽樣取出不放回之方式選擇 5 戶中小型專業芒果農戶，若該村中小型專業芒果農戶數不足或等於 5 戶，則該村所有中小型專業芒果農戶全數加以調查。另外以簡單隨機抽樣取出不放回之方式在其餘農戶中選擇其中 50 戶作為樣本戶。 本調查各類農戶所得資料綜整如下： ⑴大型專業芒果農戶：平均值為 125 萬元，標準差為 20 萬元。 ⑵中小型專業芒果農戶：6 個樣本村之資料如下： | 村別 | 文新村 | 文景村 | 文佑村 | 金河村 | 同億村 | 同欣村 | |---|---|---|---|---|---|---| | 總戶數 | 16 | 4 | 3 | 12 | 2 | 13 | | 平均值（萬元） | 30 | 25 | 30 | 25 | 20 | 30 | | 標準差（萬元） | 5 | 10 | 6 | 5 | 8 | 8 | ⑶其餘農戶：50 戶樣本戶中，有 10 戶種植芒果，而這 10 戶之平均芒果產值為 12 萬元，標準差為 8 萬元。 請回答下列問題（請以萬元為單位作答）：
📝 此題為申論題，共 3 小題
小題 (一)
請提出兩種不同估計方式，推估金芒鄉中小型專業芒果農戶之年度芒果總產值，以及其相對應之變異數估計，並比較您提出之方法於本調查之適用性。（20 分）
思路引導 VIP
- 辨識抽樣設計：中小型農戶採「二階層抽樣 (Two-stage sampling)」。第一階 (PSU) 是村（11 選 6），第二階 (SSU) 是農戶。且各村的 SSU 總數不一（如文景村只有 4 戶，全選）。
- 思考估計量：
小題 (二)
若以其他農戶之 50 戶樣本戶中，10 戶有兼種芒果之農戶的平均芒果產值 12 萬元，做為全體兼種芒果農戶之平均芒果產值推估值，請問其變異數估計值為何？（5 分）
思路引導 VIP
- 辨識問題類型：這屬於「分域估計 (Domain Estimation)」。我們在 $n=50$ 的樣本中發現了一個子群體（domain），其大小 $n_d = 10$ 是隨機的。
- 計算關鍵：分域平均數的變異數估計與一般 SRS 平均數不同，因為分域樣本數 $n_d$ 是隨機變數。但若將其視為「其餘農戶」群體中的條件變異數，公式會包含分域內的變異。注意 $N_3=400, n=50$。
小題 (三)
請推估金芒鄉兼種芒果農戶之年度芒果總產值，並提出其變異數估計值。（10 分）
思路引導 VIP
- 區分概念：注意「其餘農戶」包含「兼種芒果」與「完全不種」。我們需要的是「兼種芒果農戶」的總產值。
- 估計總產值：總產值 $\hat{\tau}_d = N_3 \times \hat{p}_d \times \bar{y}_d$，其中 $\hat{p}_d$ 是兼種比例 ($10/50 = 0.2$)。