高考申論題
111年
[統計] 迴歸分析
第 一 題
📖 題組：
承上題，令模型 F 為 Y = β0 + β1X1 + β2X2 + β3D2 + β4D3 + ε。 依據模型 F，得到以下估計結果： (估計表包含 Intercept: 10.6039 (SE: 1.4918), X1: 0.8881 (SE: 0.2752), X2: -0.6561 (SE: 0.3686), D2: -0.9285 (SE: 0.5097), D3: 1.6658 (SE: 0.5853), R² = 0.7473)
承上題，令模型 F 為 Y = β0 + β1X1 + β2X2 + β3D2 + β4D3 + ε。 依據模型 F，得到以下估計結果： (估計表包含 Intercept: 10.6039 (SE: 1.4918), X1: 0.8881 (SE: 0.2752), X2: -0.6561 (SE: 0.3686), D2: -0.9285 (SE: 0.5097), D3: 1.6658 (SE: 0.5853), R² = 0.7473)
📝 此題為申論題，共 3 小題
小題 (一)
若有一茶園位於區域 1，且其因素甲與因素乙的分數皆為 4.5。該品種之茶葉包裝方式為 500 公克一盒，請估計一盒的售價。（4 分）
思路引導 VIP
此題測驗如何利用估計好的迴歸方程式進行預測。首先要留意「區域1」的條件，代表模型中的虛擬變數 D2 = 0 且 D3 = 0。接著將 X1 = 4.5、X2 = 4.5 代入方程式。計算出來的預測值 Y，其單位是「每 10 公克」的價格。最後別忘記陷阱：題目問的是「500 公克一盒」的售價，所以必須將計算出的預測值 Y 乘上 50 倍（500/10=50）。
小題 (二)
若將反應變數的單位改為茶葉每公斤之價格，寫出此迴歸模型之係數估計結果及其標準誤（如表格中之 Estimate 與 Std Err）。（8 分）
思路引導 VIP
這題測驗變數尺度轉換（Linear Transformation）對迴歸係數與標準誤的影響。原反應變數 Y 是「每 10 公克」的價格。要轉為「每公斤 (1000 公克)」的價格，等同於將新的反應變數設為 Y* = 100 * Y。當反應變數乘上常數 c (本題為 100) 時，所有的迴歸係數估計值 (β_hat) 及標準誤 (SE) 都會等比例地放大 c 倍 (即乘上 100)。只要將原本表格中的每個數字都乘上 100 即可寫出答案。
小題 (三)
在顯著水準為 0.05 下，檢定 β1 與 β2 是否同時等於 0。（8 分）
思路引導 VIP
這是一題標準的「部分 F 檢定（Partial F-test）」。要求檢定 H0: β1 = β2 = 0。此時，全模型（Full Model）是包含所有變數的「模型 F」，而受限模型（Restricted Model）是令 β1=β2=0 後的模型，這正好等於上一題的「模型 B」（只有截距和區域虛擬變數 D2, D3）。 利用 R² 計算 Partial F 統計量的公式為：
📜 參考法條
【附表】F 分配表