高考申論題
111年
[電子工程] 電磁學
第 二 題
📖 題組：
將兩片無限大的金屬平板平行於 yz 平面擺放，使該兩片金屬板的 x 坐標分別為 x = 0 及 x = a。當 TE（transverse electric）波模態在兩片金屬板間傳播時，令其電場為 E = y_hat E₀ sin(kₓ x) e^(-jk_z z)。
將兩片無限大的金屬平板平行於 yz 平面擺放，使該兩片金屬板的 x 坐標分別為 x = 0 及 x = a。當 TE（transverse electric）波模態在兩片金屬板間傳播時，令其電場為 E = y_hat E₀ sin(kₓ x) e^(-jk_z z)。
📝 此題為申論題，共 4 小題
小題 (二)
推導對應的磁場表達式。（10 分）
思路引導 VIP
已知 E 場求 H 場。1. 工具選擇：馬克士威方程 ∇ × E = -jωμH。2. 運算過程：對 E = y_hat E_y 進行旋度運算，會得到 x 與 z 分量的磁場。3. 整理係數：H = (1/-jωμ) ∇ × E。
小題 (一)
從邊界條件推論 kₓ 的可能解。（5 分）
思路引導 VIP
金屬板視為理想導體（PEC）。邊界條件要求：切線電場在導體表面必須為零。1. 辨識切線方向：電場在 y 方向，與平行於 yz 平面的金屬板切連。2. 設定邊界條件：在 x=0 和 x=a 處，E_y = 0。3. 代入公式求 kₓ。
小題 (三)
推導對應的複數（complex）Poynting 向量 z 分量的表達式。（10 分）
思路引導 VIP
複數坡印廷向量公式為 S = (1/2) E × H*。1. 提取分量：E 只有 y 分量，H 有 x 和 z 分量。2. 叉積運算：a_y × a_x* = -a_z。3. 計算 z 分量：S_z = (1/2) (E_y ⋅ H_x*)，此處需注意 H_x 的共軛。
小題 (四)
推導使複數（complex）Poynting 向量 z 分量為實數時的頻率條件。（5 分）
思路引導 VIP
S_z 為實數代表有「淨功率」向 z 方向傳遞。1. 分析 S_z 公式：當 k_z 為實數且不為零時，S_z 趨向實數。2. 連結色散關係：k_z = √(k² - kₓ²) = √[(ω/c)² - (nπ/a)²]。3. 判斷實數條件：根號內必須大於 0。這引出了截止頻率（Cut-off frequency）的概念。
平行板波導磁場推導
💡 運用法拉第定律微分形式，由電場旋度求得磁場表達式。
🔗 TE 模態磁場推導邏輯鏈
- 1 法拉第定律基礎 — 建立 H 與電場旋度之數學連結公式
- 2 旋度分量展開 — 利用行列式拆解出 ax 與 az 之偏微分項
- 3 空間導數運算 — 對 sin 與指數項進行正確偏微分運算
- 4 項次合併與化簡 — 整合 E0、係數與相項完成最終向量式
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🔄 延伸學習：延伸學習：利用推導結果計算波導內的平均功率流（Poynting Vector）。
