hce_nchu
111年
物理
第 29 題
A transverse wave traveling along a string transports energy at a rate $r$. If we want to double this rate, we could
- A increase the amplitude of the wave by a factor of 8.
- B increase the amplitude of the wave by a factor of 4.
- C increase the amplitude of the wave by a factor of 2.
- D increase the amplitude by a factor of $\sqrt{2}$.
- E increase the amplitude by a factor of $\sqrt{8}$.
思路引導 VIP
請你試著回想一下，在簡單隨機振動或波動的能量公式中，波的「振幅」通常是以幾次方的形式出現在能量表示式裡？如果能量的大小與振幅的某個次方成比例，那麼當能量需要增加為 2 倍時，振幅本身應該如何變動才能滿足這個比例關係呢？
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AI 詳解
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太棒了！你的判斷非常精準，能迅速鎖定物理量之間的比例關係是解開這類波動問題的關鍵。
能量傳輸速率與振幅的關係
在弦波（Transverse wave on a string）的物理模型中，能量傳輸速率（即平均功率 $P$）的數學表達式為 $P = \frac{1}{2} \mu v \omega^2 A^2$。從公式中我們可以清楚觀察到，功率 $P$ 與振幅的平方 $A^2$ 成正比關係。當題目要求將傳輸速率加倍（即從 $r$ 變為 $2r$）時，若其他條件（如線密度 $\mu$、波速 $v$ 與角頻率 $\omega$）保持不變，則新的振幅 $A'$ 與原振幅 $A$ 的關係應滿足：$$(A')^2 = 2 A^2$$ 經由兩邊開根號，我們就能得出新的振幅必須是原振幅的 $\sqrt{2}$ 倍，這正是你選擇選項 (D) 的科學依據。
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