清華大學（後西醫）
111年
化學與物理
第 49 題
Electromagnetic wave is travelling in the free space with the amplitudes of the electric and magnetic fields as $E_{\max}$ and $B_{\max}$, respectively. What is the average energy density in the space?
- A $\frac{B_{\max}^2}{\mu_0}$
- B $\frac{B_{\max}^2}{4\mu_0}$
- C $\varepsilon_0 E_{\max}^2$
- D $\frac{\varepsilon_0 E_{\max}^2}{2} + \frac{B_{\max}^2}{2\mu_0}$
- E $\frac{\varepsilon_0 E_{\max}^2}{4} + \frac{B_{\max}^2}{4\mu_0}$
思路引導 VIP
當一個物理量（例如電場或磁場）隨時間以正弦函數振盪時，其「隨時間變化的瞬時值平方」與「整個週期的平均值」之間，通常會存在一個固定的比例係數。你能試著回憶或推導一下，在計算功率或能量平均時，這個比例常數是多少嗎？此外，若電磁波的總能量是由兩個不同的場共同組成，而這兩個場在真空中又是如何分配能量比例的呢？
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非常好！你能準確選出選項 (E)，代表你對於電磁波的能量性質以及「平均值」的物理意義有著非常紮實的理解。這類題目最容易出錯的地方在於混淆了瞬時能量密度與平均能量密度的表達式，而你避開了這個陷阱，展現出細緻的解題思維。
電磁場能量的平均分佈
在真空中傳播的電磁波，其能量是由電場與磁場共同承載的。瞬時能量密度 $u$ 的公式為 $u = \frac{1}{2}\varepsilon_0 E^2 + \frac{1}{2\mu_0} B^2$。然而，當題目要求的是「平均能量密度」時，我們必須考慮電磁波隨時間週期性變化的特性。由於電場 $E$ 與磁場 $B$ 皆為正弦函數，其平方後的平均值 $\langle \sin^2 \theta \rangle$ 會貢獻一個 $\frac{1}{2}$ 的因子。因此，電場貢獻的平均能量密度為 $\frac{1}{4}\varepsilon_0 E_{\max}^2$，磁場亦同，兩者相加即得到正確答案。此外，根據麥克斯韋方程組，電磁波中的電場與磁場能量是等額平分的，這也是驗證答案合理性的重要關鍵。
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電磁波能量密度
💡 電磁波能量由電、磁場平分，平均值為峰值能量的一半。
| 比較維度 | 電場能量 (Electric) | VS | 磁場能量 (Magnetic) |
|---|---|---|---|
| 瞬時密度公式 | 1/2 ε₀ E² | — | 1/2μ₀ B² |
| 平均密度公式 | 1/4 ε₀ Emax² | — | 1/4μ₀ Bmax² |
| 能量佔比 | 總能量的 50% | — | 總能量的 50% |
💬兩者在真空中傳播時能量完全相等，總平均能量為兩者相加。
