高考申論題
111年
[環境工程] 流體力學
第 二 題
📖 題組：
四、一均勻薄層流在傾角為 θ 之斜坡上往下流動速度如下： $u(y) = \frac{\rho g}{\mu} y \left( d - \frac{y}{2} \right) \sin\theta$ 式中，y 表垂直坡面之座標，d 為水流斷面深度，u 為沿著坡面流下之速度，g 表重力加速度，μ 為流體之動力黏滯係數，ρ 為流體密度。求： （每小題 10 分，共 20 分） (一)單位寬度之體積流率 q (二)平均速度（V）和最大速度（u_max）之比值，即 V / u_max = ？
四、一均勻薄層流在傾角為 θ 之斜坡上往下流動速度如下： $u(y) = \frac{\rho g}{\mu} y \left( d - \frac{y}{2} \right) \sin\theta$ 式中，y 表垂直坡面之座標，d 為水流斷面深度，u 為沿著坡面流下之速度，g 表重力加速度，μ 為流體之動力黏滯係數，ρ 為流體密度。求： （每小題 10 分，共 20 分） (一)單位寬度之體積流率 q (二)平均速度（V）和最大速度（u_max）之比值，即 V / u_max = ？
📝 此題為申論題，共 2 小題
小題 (二)
平均速度（V）和最大速度（u_max）之比值，即 V / u_max = ？
思路引導 VIP
本題需要求出平均速度(V)與最大速度(u_max)。平均速度利用上一題求得的流量q除以深度d求得；最大流速則利用微積分求極值的方法（du/dy=0），或是根據流體力學直覺，在斜坡自由液面(y=d)處剪應力為零，流速達到最大。求出兩者表達式後，相除即可得到純量比值。
小題 (一)
單位寬度之體積流率 q
思路引導 VIP
辨識出本題考查流速剖面與流量之關係。對於不可壓縮流體，單位寬度之體積流率(q)為流速(u)對流動深度(y)的積分。按照積分公式由底部(y=0)積至自由水面(y=d)即可求解。計算過程需小心展開多項式並做積分操作。