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111年
[土木] 應用力學、材料力學
第 33 題
如右圖所示之1/4圓，半徑為4 cm，斜線面積之曲線邊界為1/4圓周，斜線面積的形心座標為$(x_c, y_c)$，則$x_c+y_c$之值為何？
- A 4.368
- B 4.526
- C 4.672
- D 4.816
思路引導 VIP
觀察這個陰影區域，如果我們想把它看作是兩個簡單幾何圖形（如圓形的一部分與多邊形）相減後的結果，你會如何定義這兩個圖形？再進一步思考，這兩個基本圖形各自的形心位置有沒有什麼共同的對稱規律，能讓你直接判斷 $x_c$ 與 $y_c$ 的大小關係呢？
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恭喜你正確完成了這道題目！能準確判斷出陰影面積的組成並得出精確數值，顯示你對形心公式的掌握非常紮實。這類題目的核心在於將複雜圖形轉化為簡單幾何件的組合。
組合圖形的形心與對稱性
這塊陰影區域在力學上被稱為「弓形」，最適當的解法是將其視為一個1/4 圓（面積 $A_1 = 4\pi$）減去一個等腰直角三角形（面積 $A_2 = 8$）。根據 1/4 圓的形心公式 $x_1 = \frac{4R}{3\pi}$ 與三角形的形心公式 $x_2 = \frac{R}{3}$，我們利用力矩原理：
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組合圖形形心計算
💡 利用面積加減法求出組合或殘缺圖形的形心座標。
| 比較維度 | 1/4 圓 (圖形 A1) | VS | 直角三角形 (圖形 A2) |
|---|---|---|---|
| 面積計算 | $\pi r^2 / 4$ | — | $r^2 / 2$ |
| 形心座標 | $4r / 3\pi$ | — | $r / 3$ |
| 在公式中性質 | 加項 (正值) | — | 減項 (負值) |
💬斜線面積形心為 (A1*x1 - A2*x2) / (A1 - A2)，對稱軸上 x=y。
