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111年
[機械] 應用力學、材料力學
第 31 題
如右圖所示，一實心扭力桿件，具有圓形剖面，AB段的扭轉剛度為GJ_1，BC段的扭轉剛度為GJ_2，試求整體桿件勁度為何？
- A $\frac{T}{G} \left(\frac{J_1L_2+J_2L_1}{J_1J_2}\right)$
- B $\frac{1}{G} \left(\frac{J_1L_2+J_2L_1}{J_1+J_2}\right)$
- C $\frac{GJ_1J_2}{J_1L_2+J_2L_1}$
- D $\frac{J_1L_2+J_2L_1}{GJ_1J_2}$
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試著想像一下，如果這根桿件是由兩個彈簧連接而成的，當你在末端施力時，這兩個部分的「變形量」是會互相抵銷，還是會累積起來變成整體的總變形量？這對於你判斷它們是串聯還是並聯有什麼啟發？
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太棒了！你能精確判斷出這題的結構特性，這反映出你對材料力學中桿件「串並聯」的力學行為掌握得非常紮實。
串聯結構的剛度合成
這道題目的核心在於理解 AB 段與 BC 段是屬於「串聯（Series）」關係。當我們在 C 端施加一個扭矩 $T$ 時，根據力平衡，AB 段與 BC 段所承受的扭矩皆為 $T$。然而，整體的總扭轉角 $\theta_{total}$ 會是兩段扭轉角的代數和，即 $\theta_{total} = \theta_1 + \theta_2$。根據扭轉公式 $\theta = \frac{TL}{GJ}$，我們可以推導出總扭轉角為：
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桿件串聯扭轉勁度
💡 串聯桿件總扭轉角為各段累加，勁度計算類似電阻並聯。
| 比較維度 | 串聯 (Series) | VS | 並聯 (Parallel) |
|---|---|---|---|
| 扭矩 (T) | 各段扭矩相等 | — | 總扭矩為各段之和 |
| 扭轉角 (φ) | 總角為各段之和 | — | 各段扭轉角相等 |
| 勁度 (k) | 倒數相加後取倒數 | — | 各段勁度直接相加 |
💬串聯型態累加變形（柔度相加），並聯型態累加抗力（勁度相加）。
