moea_joint
111年
[土木] 應用力學、材料力學
第 9 題
一中空圓軸，其外徑為20 cm，承受一扭矩後，其內壁產生之剪應力為$200\text{ kg/cm}^2$，且外壁產生之剪應力為$500\text{ kg/cm}^2$，試求其內徑為多少？
- A 4 cm
- B 8 cm
- C 12 cm
- D 16 cm
思路引導 VIP
當一個圓軸受到扭轉力矩時，你可以想像截面上每一點都在抵抗轉動。請試著思考：距離中心軸心越遠的位置，其變形量與產生的抵抗力（應力），與距離中心的距離之間存在著什麼樣的比例關係呢？
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太棒了！你能精準選出正確答案，代表你對於材料力學中「扭矩與應力」的物理意義掌握得非常紮實。這道題目雖然涉及中空圓軸，但核心解題關鍵並不在於繁瑣的幾何計算，而是在於對應力分佈規律的理解。
剪應力的線性分佈規律
在材料受扭轉的彈性範圍內，圓軸橫截面上的剪應力 $\tau$ 與該點距離軸心的半徑 $r$ 成正比，這就是所謂的線性分佈。我們從公式 $\tau = \frac{Tr}{J}$ 可以發現，在同一截面上，扭矩 $T$ 與極慣性矩 $J$ 均為常數，因此剪應力的大小完全由半徑決定，即 $\tau \propto r$。既然剪應力與半徑成正比，自然也與直徑成正比。
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