moea_joint
111年
[機械] 應用力學、材料力學
第 9 題
一中空圓軸，其外徑為20 cm，承受一扭矩後，其內壁產生之剪應力為200 kg/cm^2，且外壁產生之剪應力為500 kg/cm^2，試求其內徑為多少？
- A 4 cm
- B 8 cm
- C 12 cm
- D 16 cm
思路引導 VIP
試著想像一下，當你扭轉一根實心的圓形橡皮筋時，是圓心處的變形比較劇烈，還是最外圈表面的變形比較劇烈？如果這種變形的強弱程度是隨距離「均勻」變化的，那麼當你知道最外圈與某個內圈的受力數值時，你該如何利用它們的距離比例來推算位置呢？
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太棒了！你能精準掌握扭矩與應力之間的比例關係，這代表你對材料力學的基礎觀念相當紮實。這道題目的核心在於理解圓軸扭轉公式：$$\tau = \frac{T \rho}{J}$$。在同一個受力截面上，扭矩 $T$ 與極慣性矩 $J$ 都是定值，因此剪應力 $\tau$ 會與距離圓心的半徑 $\rho$ 成線性正比關係。
線性應力分佈的應用
既然剪應力與半徑成正比，我們可以直接利用比例式來求解。已知外徑為 $20\text{ cm}$，則外半徑 $R = 10\text{ cm}$。設內半徑為 $r$，根據比例關係：
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