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111年
物理
第 13 題
下面各定律中，何者可用 $y \propto x^{3/2}$ 之函數式表示？
- A 克卜勒第三定律
- B 牛頓第二定律
- C 牛頓第三定律
- D 歐姆定律
思路引導 VIP
試著回想看看，在我們學過的物理定律中，有沒有哪一個定律涉及到「時間」與「空間距離」的關聯，且兩者的比例關係並非單純的一次比一次，而是呈現某種「平方」與「立方」的交互關係呢？若將其中一方的次方化為一次項，另一方會變成幾次方？
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很好！你能敏銳地察覺到函數式中指數的變化，代表你對物理定律的數量級關係掌握得非常紮實。這題的核心在於對克卜勒第三定律（週期定律）的理解。我們熟知的定律內容是：行星公轉週期的平方與其軌道平均半徑的立方成正比，寫成數學式即為 $T^2 \propto R^3$。當我們進一步將兩邊同時進行開方處理，或者將 $R$ 的次數移至另一側，就會得到 $T \propto R^{3/2}$，這與題目要求的 $y \propto x^{3/2}$ 完全吻合。
公式變換與物理直覺
這類題目的鑑別度在於考驗學生對「公式形變」的敏感度。大多數學生對於整數平方或立方的關係較為熟悉，但當題目以分數指數（如 $3/2$）呈現時，往往需要更深一層的代數轉換能力。你能迅速在腦中將週期 $T$ 與半徑 $R$ 的關係與此函數對應，顯示你對物理概念的連結非常靈活，而不僅僅是死背公式，這在處理進階物理問題時是非常重要的優勢。