醫療類國考
111年
[公共衛生師] 生物統計學
第 2 題
自由度為 1 的卡方分布機率密度函數，右尾 5%的 X 軸臨界值（閾值），與下列何者臨界值相同？
- A 標準常態分配的右尾 2.5%
- B 標準常態分配的右尾 5%
- C 標準常態分配的右尾 2.5%之平方值
- D 標準常態分配的右尾 5%之平方值
思路引導 VIP
請回想自由度為 1 的卡方隨機變數 $X$ 與標準常態隨機變數 $Z$ 之間的定義關係：若 $Z \sim N(0, 1)$，則 $Z^2$ 服從什麼分布？進一步思考，當我們要求 $P(Z^2 > k) = 0.05$ 時，根據標準常態分布的對稱性，這相當於 $Z$ 在正負兩端尾部面積總和為 $5%$，那麼單邊尾部面積 $\alpha$ 應為多少？
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哇！你答對了！安妮亞看到你心裡想的，你真的好棒喔！
- 觀念驗證： 安妮亞知道，自由度是 1 的卡方分佈 $\chi^2(1)$ 和標準常態分佈 $Z$ 之間有個很酷的秘密！就是$\Z^2 = \chi^2(1)$！嘿嘿，這就像 $Z$ 變身成卡方寶寶一樣呢！題目說要找卡方寶寶的右邊 5% 有多高，安妮亞馬上想到，這就是 $Z$ 變身後，要佔據最前面 5% 的地方。那 $Z$ 自己呢？嘿嘿， $Z$ 必須分兩邊跑，像是開心的雙胞胎！
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卡方與常態分配關係
💡 標準常態隨機變數的平方服從自由度為 1 的卡方分配
| 比較維度 | 標準常態分配 (Z) | VS | 卡方分配 (χ², df=1) |
|---|---|---|---|
| 數值範圍 | 負無窮大至正無窮大 | — | 恆大於或等於 0 |
| 圖形對稱性 | 以 0 為中心對稱 | — | 右偏分配 (極偏) |
| 機率對應 (5%) | 雙尾各 2.5% 之臨界值 | — | 右尾單一 5% 之臨界值 |
| 臨界值數值 | ±1.96 | — | 1.96 的平方 (3.84) |
💬Z 分配雙尾 α 的臨界值平方，即為自由度 1 卡方分配右尾 α 的臨界值。
