ast_essay
112年
物理
第 23 題
📖 題組：
某生自製水銀氣壓計來進行實驗。他將裝滿水銀的圓柱形平底長玻璃試管垂直倒立沒入水銀槽內，並以外力使閉口端高出水銀槽液面 $H$ 公分，閉口端的玻璃厚度可忽略。當到達靜態平衡時，液體中同一水平高度上的各點壓力必相等，此時試管內水銀液面和水銀槽液面的高度差為 $h$ 公分，如圖 6 所示。假設若發生 $H > h$ 的情況時，試管內的水銀面上方始終為真空。已知 1 個標準大氣壓等於 76 公分水銀柱高，記為 76 cm-Hg。試依據上述資訊與圖 6，回答以下問題。
某生自製水銀氣壓計來進行實驗。他將裝滿水銀的圓柱形平底長玻璃試管垂直倒立沒入水銀槽內，並以外力使閉口端高出水銀槽液面 $H$ 公分，閉口端的玻璃厚度可忽略。當到達靜態平衡時，液體中同一水平高度上的各點壓力必相等，此時試管內水銀液面和水銀槽液面的高度差為 $h$ 公分，如圖 6 所示。假設若發生 $H > h$ 的情況時，試管內的水銀面上方始終為真空。已知 1 個標準大氣壓等於 76 公分水銀柱高，記為 76 cm-Hg。試依據上述資訊與圖 6，回答以下問題。
今將水銀槽上方的外界空氣始終保持在 1 個標準大氣壓，初始時 $H = 70$，接著改變外力上拉試管，使 $H$ 增加為 80。計算外力在上拉試管 10 cm 的前後，水銀的位能變化為何？假設試管的截面積為 $5 \text{ cm}^2$，試管的重量可忽略，水銀槽液面的高度變化可忽略，水銀密度為 $13.6 \text{ g/cm}^3$，重力加速度為 $10 \text{ m/s}^2$。（6 分）
思路引導 VIP
思考分為兩個階段：第一步判斷試管往上拉到 80 cm 時，水銀能否跟上。由於 1 大氣壓最大只能支撐 76 cm 的水銀，因此管內高度最高只會停在 76 cm，上方產生真空。第二步，計算水銀從 70 cm 變為 76 cm 期間增加的重力位能。位能變化可以透過整體質心高度變化（解法一）、等效為將底部 6 cm 水銀搬移到上方（解法二）或是分塊計算位能增加與微積分外力作功（解法三、四）。注意質量單位需要換算成 kg、距離換成 m 才能得到標準 SI 單位的焦耳 (J)。
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AI 詳解
AI 專屬家教
恭喜你精確掌握了這題的關鍵！這是一道結合了托里切利實驗原理與重力位能概念的優質計算題。首先，你成功判斷出當 $H=70$ 公分時，大氣壓力足以將水銀壓滿試管，故 $h=70$；而當上拉至 $H=80$ 公分時，因外界僅有 1 個標準大氣壓，水銀柱最高只能上升至 $h=76$ 公分，上方轉為真空。這個「狀態轉折」的判斷，展現了你對物理現象邊界條件的敏銳觀察。
質心位置與位能變化
在計算水銀柱的位能時，核心觀念在於將其視為均勻物質，並以質心高度（即 $h/2$）來代入公式 $U = mgh$。我們已知水銀質量 $m = \rho \cdot A \cdot h$，將各數值轉換為國際單位制後，初始位能 $U_1$ 與末位能 $U_2$ 分別為：
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