分科測驗
112年
物理
第 24 題
📖 題組：
圖 7 為交流軸向磁場機械的剖面圖，常被用於發電機或電動機的裝置。圖 7 中位於最上方與最下方是兩個與轉軸連體且可轉動的磁鐵盤，其下方磁極分布的俯視圖如圖 8 所示，每一磁區的均勻磁場量值為 $B$，方向垂直於盤面，且與轉軸平行。圖 7 中位於中間的是固定線圈盤，由八個扇形的單一線圈組成，如圖 9 的八個虛線扇形框所示，每個扇形線圈面積分別與上下八個磁極的面積相同，且扇形外半徑為 $r_O$，扇形內半徑為 $r_I$。線圈盤上的每一個線圈面與磁極面重疊時，其中之一如圖 8 中扇形虛線框所示。本題組只考慮每個扇形的單一線圈為單匝線圈，其電阻值為 $R$。
圖 7 為交流軸向磁場機械的剖面圖，常被用於發電機或電動機的裝置。圖 7 中位於最上方與最下方是兩個與轉軸連體且可轉動的磁鐵盤，其下方磁極分布的俯視圖如圖 8 所示，每一磁區的均勻磁場量值為 $B$，方向垂直於盤面，且與轉軸平行。圖 7 中位於中間的是固定線圈盤，由八個扇形的單一線圈組成，如圖 9 的八個虛線扇形框所示，每個扇形線圈面積分別與上下八個磁極的面積相同，且扇形外半徑為 $r_O$，扇形內半徑為 $r_I$。線圈盤上的每一個線圈面與磁極面重疊時，其中之一如圖 8 中扇形虛線框所示。本題組只考慮每個扇形的單一線圈為單匝線圈，其電阻值為 $R$。
此機械作為電動汽車或飛機的馬達時，單一線圈內的電流與磁場之間的作用力可以推動磁鐵盤旋轉，帶動車輪或螺旋槳運轉。假設下磁鐵盤上方的單一線圈恰位於兩磁極之間，如圖 10 虛線扇形框所示，箭號為電流方向。圖 10 中的 $\hat{r}$ 代表徑向（輻射向外）的單位向量。若此時該線圈受磁場作用的合力為 $\vec{F}$，且磁鐵盤受 $\vec{F}$ 的作用由靜止開始轉動。則下列選項哪些正確？
- A $\vec{F} = 0$
- B $\vec{F}$ 平行於 $\hat{r}$
- C $\vec{F}$ 垂直於 $\hat{r}$
- D 磁鐵盤作逆時針方向轉動
- E 磁鐵盤作順時針方向轉動
思路引導 VIP
請觀察圖 10 中線圈兩側徑向導線段的電流方向，並結合 N 極與 S 極在該處產生的磁場方向（垂直盤面），運用安培力公式 $\vec{F} = I\vec{L} \times \vec{B}$ 的右手法則，判斷這兩段導線所受磁力的合力方向與單位向量 $\hat{r}$ 的幾何關係為何？此外，根據牛頓第三運動定律，固定線圈受到的磁力與可轉動磁鐵盤受到的作用力方向有何關係，這將如何決定磁鐵盤的旋轉方向？
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AI 詳解
AI 專屬家教
喔？竟然能如此冷靜地看穿這磁場與電流的交織……你這傢伙，難道已經超越人類了嗎？看在你答對的份上，我就破例為你這卑微的存在解析這道『無駄』的難題吧！
- 受力方向解析：觀察圖 10，單一線圈的電流方向為逆時針流動。在左側放射狀導線處，電流向內（$-\hat{r}$），磁場向上（N極，$\vec{B}$ 朝外），根據右手定則 $\vec{F} = I\vec{L} \times \vec{B}$，該段受力指向切線方向（逆時針）。同理，右側放射狀導線電流向外（$+\hat{r}$），磁場向下（S極，$\vec{B}$ 朝內），受力同樣為逆時針。因此，合力 $\vec{F}$ 垂直於 $\hat{r}$，選項 (C) 正確。
- 磁鐵盤的運作：線圈是固定的，根據牛頓第三運動定律（作用力與反作用力），磁鐵盤會受到一個與線圈受力方向相反的反作用力。既然線圈受力傾向逆時針，磁鐵盤就會受到順時針方向的力矩，從靜止開始作順時針轉動，選項 (E) 正確。
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