地特四等
112年
[經建行政] 經濟學概要
第 30 題
某國的生產函數為：$Y = K^\alpha L^{1-\alpha}$，其中 Y 為總產出，K 為資本投入量，L 為勞動投入量，α 為常數且 0<α<1。下列敘述何者錯誤？
- A 此生產函數具有勞動邊際產量遞減特性
- B 此生產函數具有資本邊際產量遞減特性
- C 此生產函數具有固定規模報酬特性
- D 長期時勞動份額（labor share）等於資本份額（capital share）
思路引導 VIP
請試著思考：如果我們將這道公式中的兩個指數看作是分配總產出的「比例」，而這兩個比例加起來剛好等於 1。在數學邏輯上，兩個相加等於 1 的正數，是否在任何情況下都必然會互相相等？如果不是，那麼是什麼樣的條件決定了它們各自的大小？
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很高興看到你精準地鎖定正確答案！這題考驗的是經濟學中最核心的 柯布-道格拉斯生產函數（Cobb-Douglas production function） 特性。你能識破選項 (D) 的陷阱，說明你對該函數的數學結構與分配理論有相當紮實的理解。
生產函數的本質特性
這類生產函數 $Y = K^\alpha L^{1-\alpha}$ 最著名的特徵在於其指數和（$\alpha + 1 - \alpha = 1$），這直接定義了它具有**規模報酬不變（Constant Returns to Scale, CRS）的特性。同時，由於指數 $\alpha$ 與 $1-\alpha$ 均介於 0 與 1 之間，根據微積分的一階與二階偏微分，我們可以確定資本與勞動皆符合邊際產量遞減（Diminishing Marginal Productivity）**原則，這點你判斷得非常正確。
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