地特三等申論題
112年
[機械工程] 自動控制
第 二 題
📖 題組：
如圖所示，質量塊 M1 置於 M2 上方，其間具有係數為 D1 的阻尼效應，外力 F 經由一彈簧（係數 K1）拉動 M1，M1 另一端與牆壁間透過彈簧 K2 連接，M2 與牆壁則由一阻尼器 D2 連接。兩物體位移量 (x1, x2) 之座標定義分別如圖所示。
如圖所示，質量塊 M1 置於 M2 上方，其間具有係數為 D1 的阻尼效應，外力 F 經由一彈簧（係數 K1）拉動 M1，M1 另一端與牆壁間透過彈簧 K2 連接，M2 與牆壁則由一阻尼器 D2 連接。兩物體位移量 (x1, x2) 之座標定義分別如圖所示。
📝 此題為申論題，共 2 小題
小題 (二)
若考慮 D1 可能趨近於零或無限大，分別寫出此系統在兩種極端條件下（ D1=0 與 D1 -> inf）時，簡化的等效轉移函數。（10 分）
思路引導 VIP
遇到機電系統建模題，首要步驟是利用牛頓第二定律列出各質量塊的時域微分方程式。接著針對題目給定的極端條件進行物理直觀簡化（D1=0 代表無摩擦解耦，M2 靜止；D1→∞ 代表剛性連接，M1 與 M2 結合為單一剛體），最後再進行拉氏轉換求得等效轉移函數。
小題 (一)
請推導以 F 為輸入、 x1 為輸出的轉移函數 x1(s)/F(s)，並說明改變彈簧 K1 的值是否會影響此轉移函數的極零點位置。（15 分）
思路引導 VIP
面對雙質量機電系統，首先應用牛頓第二運動定律，分別對質量塊 M1、M2 繪製自由體圖並列出時域微分方程式。接著需敏銳觀察外力 F 的作用方式：因彈簧 K1 無質量，外力會無耗損地傳遞至 M1，故 K1 不會影響 M1 的受力大小。最後將微分方程式取拉氏轉換並消去 X2(s)，即可求得轉移函數並解釋極零點不受 K1 影響的原因。
多質量系統極端阻尼分析
💡 分析阻尼係數在極端值時，系統耦合程度與等效模型的變化。
| 比較維度 | D1 = 0 (零阻尼) | VS | D1 → ∞ (極強阻尼) |
|---|---|---|---|
| 物理關聯 | 系統完全解耦，互不影響 | — | 剛性連結，視為單一剛體 |
| 運動參數 | x1 與 x2 各自獨立 | — | x1 = x2 = x |
| 等效質量 | 僅考慮受力端的 M1 | — | 總質量為 M1 + M2 |
| 轉移函數 | 1 / (M1*s^2 + K2) | — | 1 / ((M1+M2)s^2 + D2*s + K2) |
💬阻尼值決定了系統的耦合程度，從完全解耦轉變為完全結合的等效單一系統。
