高考申論題 112年 [經建行政] 統計學

第一題

📖 題組：
勞動部的報告指出，所有失業人口的母體中，失業之平均時間為 17.5 週，失業時間之標準差為 4 週。令 X̄ 代表 50 個樣本之平均失業週數。（每小題分別為 6 分、9 分，共 15 分）

📝 此題為申論題，共 2 小題

小題 (一)

試問 X̄ 的抽樣分配（包括分配與參數）？（6 分）

看到求算術平均數 X̄ 的抽樣分配，首先檢視樣本數是否夠大（n ≥ 30）。本題樣本數 n = 50，可直接引用中央極限定理（CLT）判斷其分配型態，並利用期望值與變異數的線性運算性質求出分配參數。

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【解題思路】利用中央極限定理（CLT）與期望值、變異數的線性性質推導抽樣分配。【詳解】已知：母體平均數 $\mu = 17.5$ 週，母體標準差 $\sigma = 4$ 週，樣本數 $n = 50$。

試問樣本平均值落在母體平均值 1 週之內的機率為何？（9 分）

看到大樣本 (n ≥ 30) 且求樣本平均數的機率，應立即聯想「中央極限定理 (CLT)」。透過求出樣本平均數的期望值與標準誤，將問題標準化轉換為標準常態分配的機率計算即可解題。

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【解題思路】大樣本下利用中央極限定理（CLT），確定樣本平均數的抽樣分配近似常態分配，進而將統計量標準化求取機率。【詳解】已知：

z_0.05 = 1.645; z_0.025 = 1.96 sqrt(50) = 7.07; sqrt(1.2) = 1.095

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