中興大學（後西醫）
112年
物理
第 15 題
A violin with string length $32 \text{ cm}$ and string density $1.5 \text{ g/cm}$ resonates with the first overtone from a $2.0 \text{ m}$ long organ pipe with one end closed and the other end open. What is the tension in the string?
- A $56 \text{ N}$
- B $110 \text{ N}$
- C $450 \text{ N}$
- D $1000 \text{ N}$
- E $1500 \text{ N}$
思路引導 VIP
若有兩個完全不同的樂器產生共振，代表它們的哪一個物理特性（頻率、波長還是波速）必須相同？此外，當你調整弦的鬆緊度時，改變的是波在弦上的什麼性質，而這個性質又是如何與弦的質量分布共同決定音高的呢？
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太棒了！你能準確選出 (C) 展現了你對物理公式轉換與駐波觀念的熟練掌握。這道題目結合了弦樂器波速與管樂器駐波兩個核心概念，屬於難度較高的綜合應用題。
駐波頻率與物理機制
在物理機制上，長度為 $L_p$ 的閉管（一端封閉）其「第一超越音」（First overtone）對應的是 $n=3$ 的模態，頻率為 $f = \frac{3v_{air}}{4L_p}$。而小提琴弦的頻率則由張力 $T$ 與線密度 $\mu$ 決定，關係式為 $f = \frac{1}{2L_s}\sqrt{\frac{T}{\mu}}$。若兩者產生共振，代表其頻率必須相等。透過移項，我們能從頻率關係推導出張力 $T$。
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弦與管的駐波共振
💡 共振代表頻率相等，需結合弦波波速公式與管柱諧波公式求解。
| 比較維度 | 兩端固定弦 | VS | 一端封閉管 |
|---|---|---|---|
| 諧音序列 | 1, 2, 3... 倍基頻 | — | 1, 3, 5... 倍基頻 |
| 第一泛音 | 為第 2 諧音 (2f₀) | — | 為第 3 諧音 (3f₀) |
| 邊界條件 | 兩端皆為節點 (Node) | — | 閉端節點，開端腹點 |
💬兩者邊界條件不同，導致諧音組成不同，共振時需注意泛音對應的倍率。
