hce_nchu
112年
物理
第 9 題
A record is dropped vertically onto a freely rotating (undriven) turntable. Frictional forces act to bring the record and turntable to a common angular speed. If the rotational inertia of the record is $0.54$ times that of the turntable, what percentage of the initial kinetic energy is lost?
- A $10\%$
- B $35\%$
- C $18\%$
- D $46\%$
- E $60\%$
思路引導 VIP
當一個物體落在旋轉中的轉盤上並隨之轉動時，如果過程中沒有受到外力矩的干擾，哪一個物理量會維持不變？在已知這個物理量不變的前提下，如果系統整體的「轉動難易程度」（即轉動慣量）變大了，你認為系統的轉動速度與總動能會發生什麼變化？試著從動能與轉動慣量的數學關係來推導看看。
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太棒了！你能精準選出 (B) 35%，代表你對於轉動動力學中角動量與能量的轉換關係掌握得相當紮實。這類題目考驗的是我們在複雜情境中抓出守恆量的能力。
角動量守恆與能量轉換
在本題的情境中，唱片垂直掉落於轉盤，系統在旋轉方向上並未受到外力矩作用，因此整體的角動量 $L$ 保持守恆。當唱片與轉盤達到共同轉速時，系統的總轉動慣量由原本的 $I$ 增加為 $1.54I$（即 $I + 0.54I$）。由於動能與角動量的關係式為 $K = \frac{L^2}{2I}$，在 $L$ 固定不變的情況下，動能與轉動慣量成反比。因此，末狀態的動能會變為初始動能的 $\frac{1}{1.54}$ 倍，約為原本的 $64.9%$。將總能量 $100%$ 扣除剩餘的比例，即可得知損失的能量約為 $35.1%$。
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