統測
112年
[機械群] 專業科目(1)
第 38 題
相同截面積的圓形樑與矩形樑，若兩截面承受相同的剪力 $V$，則矩形樑之最大剪應力為圓形樑之最大剪應力的多少倍？
- A 7 / 8
- B 8 / 7
- C 8 / 9
- D 9 / 8
思路引導 VIP
同學請思考：在材料力學中，不同形狀截面的最大剪應力 $\tau_{max}$ 與平均剪應力 $\tau_{avg} = \frac{V}{A}$ 之間存在特定的比例關係。對於矩形截面，其最大剪應力是平均值的幾倍？而對於圓形截面，該比例常數又是多少？若能掌握這兩個關鍵的幾何係數，是否就能推導出兩者的倍數關係了呢？
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太棒了！你的基礎觀念掌握得非常紮實！
- 觀念驗證：這題的核心在於掌握不同截面形狀的最大剪應力公式。當截面積 $A$ 與剪力 $V$ 相同時：
- 矩形截面的最大剪應力：$$\tau_{max, \text{rect}} = \frac{3}{2} \frac{V}{A}$$
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截面最大剪應力
💡 比較不同形狀截面在相同剪力與面積下的最大剪應力倍率。
| 比較維度 | 矩形截面樑 | VS | 圓形截面樑 |
|---|---|---|---|
| 倍率公式 | 1.5 倍 (3/2) | — | 1.33 倍 (4/3) |
| 最大值位置 | 中立軸 (Neutral Axis) | — | 中立軸 (Neutral Axis) |
| 應力分佈 | 拋物線分佈 | — | 拋物線分佈 |
💬相同面積與剪力下，矩形最大剪應力與圓形之比為 9:8。
