第 二 題

繪製根軌跡的綜合題。依序檢查根軌跡的幾個關鍵法則：

1. 起點與終點：找出開迴路極點（$K=0$）和零點（$K=\infty$）。

本題要求找出使系統穩定的 $K$ 值範圍。關鍵在於求出閉迴路系統的「特徵方程式（Characteristic Equation）」，即 $1 + G(s)H(s) = 0$。展開特徵方程式後，會得到一個 $s$ 的多項式。接著，利用勞斯-赫維茲穩定準則（Routh-Hurwitz criterion），檢查特徵多項式係數的條件。由於這是一個二次多項式，只需所有係數大於零（同號）即代表系統穩定。將係數條件列出不等式並求交集，即可得到 $K$ 的範圍。

本題結合了時域規格設計。安定時間（Settling time）在 2% 誤差帶下的公式為 $T_s = 4 / (\zeta\omega_n)$。已知 $T_s=2$，可求出阻尼參數 $\sigma = \zeta\omega_n = 2$。接著，將系統特徵方程式整理成標準的二階形式 $s^2 + 2\zeta\omega_n s + \omega_n^2 = 0$。對照前一小題整理出的特徵方程式 $(1+K)s^2 + 9Ks + (20K-4) = 0$（同除以 $(1+K)$ 後進行係數對比），把 $2\zeta\omega_n$ 換成包含 $K$ 的表達式，代入等於 4，即可解出 $K$。求出 $K$ 後代回原式求出 $\omega_n$，進而算出阻尼比 $\zeta$。

本題測驗穩態誤差（Steady-state error）的概念。首先，辨認系統型式（Type）。觀察開迴路轉移函數 $G(s)$，分母沒有 $s$ 的獨立項（極點不在原點），這是一個 Type 0 系統。對於 Type 0 系統，單位步階輸入的穩態誤差公式為 $e_{ss} = 1 / (1+K_p)$，其中 $K_p$ 是位置誤差常數 $K_p = \lim_{s\to0} G(s)$。依照題意將 $e_{ss}$ 設為 -10% (-0.1)，代入解方程式求 $K_p$，然後再由 $K_p$ 反求出 $K$ 值。最後確認算出的 $K$ 值是否在系統穩定範圍內。